Bài 10:

a: Xét ΔCAE có CA=CE và \(\hat{ACE}=60^0\)

nên ΔCAE đều

b: Ta có: ΔCAE đều

=>\(\hat{CAE}=\hat{CEA}=60^0\) và AE=EC=AC

Ta có: \(\hat{EAC}+\hat{EAB}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{ECA}+\hat{EBA}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

mà \(\hat{EAC}=\hat{ECA}\)

nên \(\hat{EAB}=\hat{EBA}\)

=>EA=EB

mà EA=AC
nên EB=AC

c: Xét ΔEFA vuông tại F và ΔEFB vuông tại F có

EA=EB

EF chung

Do đó: ΔEFA=ΔEFB

=>FA=FB

=>F là trung điểm của AB

Bài 9:

a: Xét ΔMBA và ΔMCE có

MB=MC

\(\hat{BMA}=\hat{CME}\) (hai góc đối đỉnh)

MA=ME

Do đó: ΔMBA=ΔMCE

b: ΔMBA=ΔMCE

=>\(\hat{MBA}=\hat{MCE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CE
c: ΔMHC vuông tại H

=>MC là cạnh lớn nhất trong ΔMHC

=>MH<MC

mà MC=MB

nên MH<MB

bài 1:

từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại P

xét tam giác ABD và tam giác APD có:

góc BAD= góc PAD( vì AD là tia phân giác )

góc ABD= góc APD= 90 độ

=> △ABD = △APD

=> BD=PD

xét tam giác DPC có:

DP là hình chiếu

DC là đường xiên

=> DP<DC

=>BD<DC

bài 2:

gọi G là giao điểm của AD và BE

=> AG=2GD và BG=2DE

xét tam giác BGD vuông tại G có:

\(BD^2=BG^2+GD^2\)

mà BG=2BD=> \(BG^2=4BD^2\) có

\(BD^2=4GE^2+GD^2\)

ta có : \(BC=2BD\Rightarrow BD^2=4BD^2\)

thay BD=... ta có:

=> \(BC^2=4BD^2=4\left(4GE^2+GD^2\right)=16GE^2+4GD^2\)

xét tam giác AGE vuông tại G có:

\(AE^2=AG^2+GE^2\)

thay \(\Rightarrow AG=2GD\Rightarrow AG^2=4GD^2\) ta có:

\(AE^2=4GD^2+GE^2\)

mà \(AC=2AE\Rightarrow AC^2=4AE^2\)

=> \(AC^2=4\left(4GD^2+GE^2\right)=16GD^2+4GE^2\)

=> \(4AC^2=4\left(16GD^2+4GE^2\right)=64GD^2+16GE^2\)

vì \(4GD^2>64GD^2\)

=> \(4GD^2+16GE^2<64GD^2+16GE^2\)

=> \(BC^2<4AC^2=\left(2AC\right)^2\)

=> \(BC<2AC\) (đpcm)

bài 3:

ta có AC=AD+CD

xét tam giác AED có:

AE là là hình chiếu

AD là đường xiên

=> AE<AD

xét tam giác CFD vuông tịa F

CF là hình chiếu

CD là đường xiên

=> CF<CD

từ các điều trên => AE+CF<AD+CD

AE+CF<AC

bài 4:

gọi độ dài còn lại của tam giác là x(x∈\(N^{\cdot}\) )

=> 8-2<x<8+2( bđt trong tam giác)

6<x<10

mà x là một số tự nhiên chẵn

=>x=8

bài 5:

a) xét tam giác OBC có:

O là giao của ba đường trung trực

=> △OBC là △ cân

=> OB=OC

CMTT: => △OBA;△OAC là tam giác cân

=> OA=OB=OC

b) vì △OBA là tam giác cân

=> góc OAB= góc OBA hay góc OAD= góc OBA

mà xét tam giác ABC cân có O là giao các đường trung trực

=> OA là phân giác của tam giác ABC

=> góc OAB= góc OAC= góc OCA( vì tam giác OAC cân tại O)

=> góc OAD= góc OCA hay góc OAD= góc OCE

xét tam giác ODA và tam giác OEC có:

AD=EC

góc OAD= góc OCE

OA=OC

=> △ODA=△OEC(c.g.c)

=> OD=OE

=> O thuộc đường trung trực của DE

bài 6:

TH1: cạnh đáy là 6cm

gọi cạnh bên là x(x>0)

=> chu vi= x+x+6=20cm

2x+6=20

2x=14

x=7

TH2: cạnh bên là 6cm

gọi đáy là y(y>0)

=> chu vi= 6+6+y=20

12+y=20

y= 8

bài 7:

a) vì tam giác ABC là tam giác cân

=> AG vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác

mà AD⊥BC

=> A;G;D thẳng hàng

b) vì △ABC cân tại A

=> góc BAG= góc CAG

xét tam giác BAG và tam giác CAG có:

AG chung

góc BAG= góc CAG

AB=AC

=> △BAG=△CAG

bài 8:

a) ta có AE=AB

=> △ABE là tam giác cân tại A

mà AD là đường phân giác

=> AD là đường cao đồng thời là đường phân giác

=>AD ⊥BE

mà BF⊥AE giao AD tại H

=> H là trực tâm của tam giác ABE

b) ta có AD là phân giác

=> góc HAF= góc DAC= 70 độ:2=35 độ

xét tam giác AHF có:

góc DHF= góc HAF+ góc HFA( t/c góc ngoài của tam giác )

=> góc DHF= 35 độ+ 90 độ= 125 độ

bài 9:

a) xét tam giác ABM và tam giác ECM có:

AM=EM

góc AMB= góc EMC

BM=CM

=> △ABM=△ECM(ch.cgv)

b) từ câu a)=> góc BAM= góc CEM

=> AB//CE

c) xét tam giác HMC

HM là hình chiếu

MC là đường xiên

=> MH<MC

mà BM=MC

=> BM>MH(đpcm)

bài 2 với bài 10 nộp sau nha:)

Gọi giao điểm của hai đường thẳng AD và BE là M.

+) Xét tam giác BDM có góc D1 là góc ngoài tam giác nên :

+)Xét tam giác ADC có góc D1 + góc A + góc C = 180º mà góc D1 > 90º

nên góc D1 là góc lớn nhất trong tam giác đó:

Suy ra: AC > CD . (a)

+) Mà D là trung điểm của BC nên  (b)

Từ (a) và (b) suy ra:  hay 2AC > BC ( đpcm )