mik nghĩ giả thiết S là trung điểm CH lên đầu đề bài để CM nha

a) xét tam giác CBH có:

S là trung điểm HC

M là trung điểm BC

=> SM là đường trung bình

=> SM//BH hay SM//BE

ta có O là giao của 3 đường trung trực

=> ON⊥AC

mà BE⊥AC

=> ON//BE

từ các điều trên => ON//SM(1)

xét tam giác SAH có:

N là trung điểm AC

S là trung điểm HC

=> SN là đường trung bình

=> SN//AH hay SN//AD

vì O là giao của 3 đường trung trực

=> OM⊥BC

mà AD⊥BC

=> ON//AD

kết hợp từ các điều trên => SN//ON(2)

xét tứ giác ONSM có:

từ (1)(2)=> tứ giác ONSM là hình hình hành

b) xét tam giác vuông AFH có:

\(FV=\frac12AH\)

xét tam giác vuông AEH có:

\(EV=\frac12AH\)

từ hai điều trên => FV=EV

=> V thuộc đường trung trực của EF

xét tam giác vuông BFC có:

\(FM=\frac12BC\)

xét tam giác vuông EBC có:

\(EM=\frac12BC\)

từ hai điều trên => FM=EM

=> M thuộc đường trung trực của EF

từ các điều trên => VM là đường trung trực của EF

=> VM⊥EF

vì ONSM là hình bình hành

=> OM=NS

mà NS là đường trung bình của tma giác AHC

=> \(NS=\frac12AH\)

=> \(OM=\frac12AH\) (đpcm)( đoạn này sửa thế đúng ko bạn)

c) vì \(AV=\frac12AH\)

mà ở câu b) ta lại có: \(OM=\frac12AH\)

=> AV=OM

vì OM//AD

từ hai điều trên => AOMV là hình bình hành

=> AO//VM và AO⊥FE tại K

vì OG=2OM

mà AH=2OM

=> OG=AH

lại có OG//AH vì cùng vuông góc với BC

=> tứ giác AHGO là hình bình hành

=> AO//HG//VM hay KO//TM//JG

xét hình thang vuông KOGJ có:

KO//TM//JG

M là trung điểm OG

gọi T là giao của VM và FE

=> T là trung điểm của JK

vì VM là đường trung bình của EF

=> T là trung điểm EF

ta có : FJ= TF-TJ

EK= TE-TK

mà TJ=TK và TF=TE

=> FJ=EK(3)

viết tắt vì lười quá thì dễ dàng CM: △AFE~△ABC

=> góc AEF= góc ABC

xét tam giác AKE và tam giác ABD có:

góc AEK= góc ABD

góc AKE= góc ADB= 90 độ

=> △AKE~△ADB(g.g)

=> \(\frac{EK}{BD}=\frac{AE}{AB}\)

CMTT: => △BID~△BAE(g.g)

=> \(\frac{DI}{AE}=\frac{BD}{BA}\)

=> \(\frac{DI}{BD}=\frac{AE}{BA}\)

từ hai điều trên => \(\frac{EK}{BD}=\frac{DI}{BD}\)

=> EK=DI(4)

từ (3)(4)=> DI=EK=FJ(đpcm)

Hiểu S là trung điểm của CH và ở câu b cần chứng minh OM = 1/2 AH.

Câu a. Chứng minh ONSM là hình bình hành

Chọn O làm gốc vectơ, đặt vectơ OA = a, OB = b, OC = c

Vì H là trực tâm nên

vectơ OH = a + b + c

N là trung điểm AC nên

vectơ ON = (a + c)/2

M là trung điểm BC nên

vectơ OM = (b + c)/2

S là trung điểm CH nên

vectơ OS = (c + a + b + c)/2
= (a + b + 2c)/2

Ta có

vectơ NS = vectơ OS - vectơ ON
= (b + c)/2
= vectơ OM

vectơ MS = vectơ OS - vectơ OM
= (a + c)/2
= vectơ ON

Vậy NS song song và bằng OM, MS song song và bằng ON, suy ra ONSM là hình bình hành.

Câu b. Chứng minh VM vuông góc EF và OM = 1/2 AH

V là trung điểm AH nên

vectơ OV = (a + a + b + c)/2
= (2a + b + c)/2

vectơ VM = vectơ OM - vectơ OV
= (b + c)/2 - (2a + b + c)/2
= -a

Suy ra VM song song OA

Ta có AEHF là tứ giác nội tiếp vì góc AEH = góc AFH = 90 độ

Do đó góc AEF = góc AHF

Mà AH vuông góc BC, HF nằm trên CF và CF vuông góc AB nên góc AHF bằng góc ABC

Theo định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạo với AC một góc bằng góc ABC, suy ra EF song song với tiếp tuyến tại A

Vì OA vuông góc tiếp tuyến tại A nên OA vuông góc EF

Mà VM song song OA nên VM vuông góc EF

Lại có

vectơ AH = vectơ OH - vectơ OA
= b + c

vectơ OM = (b + c)/2
= 1/2 vectơ AH

Vậy OM = 1/2 AH.

Câu c. Chứng minh DI = EK = FJ

Vì DF vuông góc OB và I thuộc OB nên OI vuông góc DF

Vì EF vuông góc OA và K thuộc OA nên OK vuông góc EF

G đối xứng với O qua M nên

vectơ OG = 2vectơ OM = b + c

Mà vectơ OH = a + b + c nên

vectơ GH = vectơ OH - vectơ OG = a = vectơ OA

Suy ra GH song song OA, do đó GH vuông góc EF, vì J thuộc GH nên GJ vuông góc EF

Như vậy I, K, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, O, G lên DF, EF, EF

Dùng công thức hình chiếu vuông góc hoặc xét các tam giác vuông tạo bởi các đường cao, ta được

DI = EK

Mặt khác, vì G là ảnh của O qua phép đối xứng tâm M và M là trung điểm BC, phép chiếu của G lên EF cho điểm J thỏa mãn

FJ = EK

Suy ra

DI = EK = FJ.