Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) sửa đề: \(\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^2}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
=\(\frac{-x^2\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{-y^2\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{-z^2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
=\(-\frac{\left\lbrace x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)\right\rbrace}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
xét tử số:
Tử=\(x^2y-x^2z+y^2z-y^2x+z^2x-z^2y\)
=\(x^2\left(y-z\right)-x\left(y^2-z^2\right)+yz\left(y-z\right)\)
=\(x^2\left(y-z\right)-x\left(y-z\right)\left(y+z\right)+yz\left(y-z\right)\)
=\(\left(y-z\right)\left\lbrace x^2-x\left(y+z\right)+yz\right\rbrace\)
=\(\left(y-z\right)\left\lbrace x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\right\rbrace\)
=\(\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
=\(-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
thay lại vào biểu thức cũ:
\(\Rightarrow-\frac{\left\lbrace-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\right\rbrace}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
=\(1\)
b) \(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
=\(\frac{\left(c-a\right)+\left(a-b\right)+\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
Câu 1, Quy đồng mẫu của 2 về lấy MTC là (x-y)(y-z)(z-x).
Câu 2, Chỉ có thể xảy ra khi a+b+c=x+y+z=x/a+y/b+z/c=0
1)\(A=\frac{b\left(2a\left(a+5b\right)+\left(a+5b\right)\right)}{a-3b}.\frac{a\left(a-3b\right)}{ab\left(a+5b\right)}=\frac{b\left(a+5b\right)\left(2a+1\right).a\left(a-3b\right)}{\left(a-3b\right).ab\left(a+5b\right)}\)
\(A=2a+1\)=>lẻ với mọi a thuộc z=> dpcm
2) từ: x+y+z=1=> xy+z=xy+1-x-y=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)
tường tự: ta có tử của Q=(x-1)^2.(y-1)^2.(z-1)^2=[(x-1)(y-1)(z-1)]^2=[-(z+y).-(x+y).-(x+y)]^2=Mẫu=> Q=1
3) kiểm tra lại xem đề đã chuẩn chưa
a)
Ta có $\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)(x+y)=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}.$
$=\dfrac{2xy+x^2+y^2}{xy}.$
$=\dfrac{(x-y)^2+4xy}{xy}\ge4.$
Suy ra $\dfrac1x+\dfrac1y\ge\dfrac4{x+y}.$
b)
Ta có $\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\right)(x+y)=a^2+b^2+\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}.$
$=a^2+b^2+\dfrac{a^2y^2+b^2x^2}{xy}.$
$\ge a^2+b^2+\dfrac{2abxy}{xy}.$
$=a^2+2ab+b^2.$
$=(a+b)^2.$
Suy ra $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}.$
c)
Đặt $A=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}.$
Theo câu b), $A\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}.$
Do đó $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}.$
Áp dụng câu b) cho hai số $\dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ và $\dfrac{c^2}{z},$ ta được $\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}.$
Suy ra $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}.$
a) => CM: \(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y
b) \(\Rightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge\left(a^2+2ab+b^2\right)xy\)
\(a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\)
\(\left(ay\right)^2+\left(by\right)^2\ge2abxy\)
\(\left(ay\right)^2-2abxy+\left(by\right)^2\ge0\)
\(\left(ay-by\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )
dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi ay= bx
=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
c) từ câu b) => \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\)
áp dụng tiếp bđt từ câu b) ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
=> \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)