Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 :
B A C H K E D M N
a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)
Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.
b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3)
Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD
=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)
=> BE = CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.
A B C D E N M P
Bài 2 :
a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)
Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)
b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC
=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P
Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.
Trên tia đối của tia MA, lấy N sao cho MN=MA
Ta có: \(\hat{DAE}+\hat{DAB}+\hat{BAC}+\hat{EAC}=360^0\)
=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\) (1)
Xét tứ giác ADNE có
M là trung điểm chung của AN và DE
=>ADNE là hình bình hành
=>\(\hat{DAE}+\hat{ADN}=180^0\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ADN}=\hat{BAC}\)
ADNE là hình bình hành
=>DN=AE
mà AE=AC
nên DN=AC
Xét ΔADN và ΔBAC có
AD=BA
\(\hat{ADN}=\hat{BAC}\)
DN=AC
Do đó: ΔADN=ΔBAC
=>\(\hat{DAN}=\hat{ABC}\)
Gọi H là giao điểm của AN và BC
Ta có: \(\hat{DAN}+\hat{DAB}+\hat{BAH}=180^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{BAH}=180^0-90^0=90^0\)
=>ΔAHB vuông tại H
=>AM⊥BC tại H
Giả thiết:
Cần chứng minh: Tứ giác \(A M N I\) là hình thang cân.
Chứng minh
Ta có:
Xét phép quay tâm \(A\), góc \(90^{\circ}\):
Suy ra đoạn \(B C\) biến thành đoạn \(D E\).
Do phép quay bảo toàn trung điểm nên trung điểm \(N\) của \(B C\) biến thành trung điểm \(M\) của \(D E\).
Vì thế
\(A N = A M\)
và
\(M N \bot B C .\)
Mặt khác, vì
nên điểm \(I\) là tâm phép quay xoắn (spiral similarity) biến \(B C\) thành \(D E\).
Theo tính chất của phép quay xoắn, đường nối hai trung điểm \(M N\) vuông góc với trục đối xứng qua \(A I\), từ đó suy ra
\(M N \parallel A I .\)
Do đó tứ giác \(A M N I\) có một cặp cạnh đối song song nên là hình thang.
Lại có
\(A M = A N\)
và trong hình thang \(A M N I\), hai cạnh bên là
\(M I = A N .\)
Suy ra
\(M I = A N .\)
Vậy hình thang \(A M N I\) có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thang cân.
Kết luận: \(A M N I\) là hình thang cân.
aaaaaa
ta có góc DAC= góc DAB+ góc BAC= góc BAC+ 90 độ
góc BAE= góc EAC+ góc BAC= góc BAC+ 90 độ
=> góc DAC = góc BAE
xét tam giác ADC và tam giác ABE có:
AD=AN
góc DAC = góc BAE
AC= AE
=> △ADC=△ABE(c.g.c)
=> BE=DC và góc ADC = góc ABE
gọi giao của AB và DC là K
ta có góc ADC+ góc AKD= 90 độ
mà góc AKD= góc BKI và góc ADC = góc ABE
=> góc ABE+ góc BKI= 90 độ hay góc KBI+ góc BKI= 90 độ
=> △BKI vuông tại I
=> DC⊥BE
để CM: IM=AN
ta có xét tam giác IDE vuông tại I có:
M là trung điểm DE
=> IM là đường trung tuyến của tam giác vuông IDE
=> \(IM=\frac12DE\)
=> CM: AN= \(\frac12DE\)
nếu bạn nhìn kĩ hình bạn sẽ thấy nó có một số đặc điểm khá giống bài toán sau đây:
cho tam giác ABC nhọn, kẻ ra ngoài các hình vuông ADFB; hình vuông AENC;kẻ ADPE là hình hình hành. CMr: AP= BC
và điều CM trên luôn đúng nên ta kẻ một tia đối của tia NA sao cho A'N=AN
xét tứ giác ACA'B có:
N là trung điểm AA'
N là trung điểm BC
=> ACA'B là hình bình hành
=> BA'=AC=AE và A'C=AB=AD
mà ta có góc ABA'+ góc BAC= 180 độ( hai góc trong cùng phía)
góc DAE+ góc BAC+ góc DAB+ góc EAC= 360 độ
thay góc DAB= góc EAC= 90 độ ta có:
góc DAE+ góc BAC= 360 độ - 90 độ -90 độ =180 độ
từ các điều trên
=> góc ABA'= góc DAE
xét tam giác ABA' và tam giác DAE có:
DA= AB
góc ABA'= góc DAE
BA'= AE
=> △ABA'=△DAE(c.g.c)
=> AA'= DE
=> \(AN=\frac12DE\)
=> AN= IM(1)
để AMNI là hình thang cân ta cần CM nốt AI//MN
ở đây ta nhận thấy góc DIE= 90 độ và AI
=> kẻ AF⊥DC và AG⊥BE
xét tam giác ADF và tam giác ABG có:
góc ADF = góc ABG( hay góc ADC= góc ABE)
AD=AB
góc DFA= góc BGA= 90 độ
=> △ADF=△ABG(ch-gn)
=> AG=AF
xét tứ giác AFIG có:
góc AFI= góc FIG= góc IGA= 90 độ
=> tứ giác AFIG là hình chữ nhật kết hợp với AG=AF
=> tứ giác AFIG là hình vuông
=> góc AIG= 45 độ(2)
để AI//MN ta cần CM góc IGN= 45 độ
ta nhận thấy ko thể áp dụng kẻ như trên nữa và thầy tớ dày nếu nhìn thấy nhiều trung điểm phải nghĩ tới song song và đường trung bình
=> gọi P là trung điểm EC
xét tam giác EDC có:
M là trung điểm DE
P là trung điểm CE
=> MP là đường trung bình của tam giác EDC
=> MP=\(\frac12DC\) và MP//DC
xét tam giác CBE có:
N là trung điểm BC
P là trung điểm EC
=> NP là đường trung bình của tam giác CBE
=> \(NP=\frac12BE\) và NP//BE
ta có DC=BE
=> MP= NP
ta có DC⊥BE mà NP // BE và MP // DC
=> MP⊥NP
từ các điều trên => △MNP vuông cân tại P
=> góc MNP= 45 độ
mà NP//BE
=> góc IGN= góc MNP= 45 độ(3)
từ(2)(3)=> góc AIG= góc IGN
mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> AI//MN(4)
từ (1)(4)=> AMNI là hình thang cân (đpcm)