Dưới đây là cách giải phương trình \(\mid x - 2 \mid + \mid x - 4 \mid = 2\) từng bước:

• Bước 1: Xác định các khoảng xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối
  Hai điểm quan trọng là \(x = 2\) và \(x = 4\), vì tại đó các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu.
  Ta xét 3 khoảng:
• 1. \(x < 2\)
  2. \(2 \leq x \leq 4\)
  3. \(x > 4\)
• Bước 2: Xét từng khoảng
• 1. Với \(x < 2\):
     Phương trình trở thành:\(\left(\right. 2 - x \left.\right) + \left(\right. 4 - x \left.\right) = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 6 - 2 x = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 x = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)Nhưng \(x = 2\) không thuộc khoảng \(x < 2\), nên không thỏa mãn trong khoảng này.
  2. • \(\mid x - 2 \mid = 2 - x\) (vì \(x - 2 < 0\))
     • \(\mid x - 4 \mid = 4 - x\) (vì \(x - 4 < 0\))
  3. Với \(2 \leq x \leq 4\):
     Phương trình trở thành:\(\left(\right. x - 2 \left.\right) + \left(\right. 4 - x \left.\right) = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 = 2\)Phương trình đúng với mọi \(x\) trong khoảng \(\left[\right. 2 , 4 \left]\right.\).
  4. • \(\mid x - 2 \mid = x - 2\) (vì \(x - 2 \geq 0\))
     • \(\mid x - 4 \mid = 4 - x\) (vì \(x - 4 \leq 0\))
  5. Với \(x > 4\):
     Phương trình trở thành:\(\left(\right. x - 2 \left.\right) + \left(\right. x - 4 \left.\right) = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 x - 6 = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 x = 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 4\)Nhưng \(x = 4\) không thuộc khoảng \(x > 4\), nên không thỏa mãn trong khoảng này.
  6. • \(\mid x - 2 \mid = x - 2\) (vì \(x - 2 > 0\))
     • \(\mid x - 4 \mid = x - 4\) (vì \(x - 4 > 0\))
• Bước 3: Kết luận
• • Tập nghiệm là tất cả \(x\) thuộc đoạn \(\left[\right. 2 , 4 \left]\right.\).

Đáp án:

xét các khoảng giá trị của x để phá dấu giá trị tuyệt đối:
trường hợp 1: x < 2
=>|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x
=> |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x phương trình thành:
(2 - x) + (4 - x) = 2
=> 6 - 2x = 2
=> 2x = 4
=> x = 2 (Loại vì x < 2)
trường hợp 2: 2 </= x </= 4
=> |x - 2| = x - 2
=> |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x phương trình thành:
(x - 2) + (4 - x) = 2
=> 2 = 2 (Luôn đúng)
=> nghiệm: 2 </= x </= 4
trường hợp 3: x > 4
=> |x - 2| = x - 2
=> |x - 4| = x - 4
phương trình thành:
(x - 2) + (x - 4) = 2
=> 2x - 6 = 2
=> 2x = 8
=> x = 4 (Loại vì x > 4)

kết luận: 2 </= x </= 4

ta có: \(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert x-4\right\vert=\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\)

ta có công thức: \(\left\vert A\right\vert+\left\vert B\right\vert\ge\left\vert A+B\right\vert\) dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi \(A\cdot B\ge0\)

=> \(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\ge\left\vert\left(x-2\right)+\left(4-x\right)\right\vert\)

\(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\ge2\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : \(\left(x-2\right)\left(4-x\right)\ge0\)

TH1: \(x-2\ge0\Rightarrow x\ge2\)

\(4-x\ge0\Rightarrow x\le4\)

TH2: \(x-2\le0\Rightarrow x\le2\)

\(4-x\le0\Rightarrow x\ge4\) ( vô lí vì ko có số nào lớn hơn 4 lại bé hơn 2)

vậy nghiệm của phương trình là: \(2\le x\le4\)

theo ý của mik thì :

thứ 2 là :

• Trường hợp 1: \(x < 2\)
  Phương trình trở thành: \(-(x - 2) - (x - 4) = 2\)
  \(\Leftrightarrow -x + 2 - x + 4 = 2\)
  \(\Leftrightarrow -2x = -4 \Leftrightarrow x = 2\) (Loại vì đang xét \(x < 2\)).
• Trường hợp 2: \(2 \leq x \leq 4\)
  Phương trình trở thành: \((x - 2) - (x - 4) = 2\)
  \(\Leftrightarrow x - 2 - x + 4 = 2\)
  \(\Leftrightarrow 2 = 2\) (Luôn đúng với mọi \(x\) trong khoảng \([2, 4]\)).
• Trường hợp 3: \(x > 4\)
  Phương trình trở thành: \((x - 2) + (x - 4) = 2\)
  \(\Leftrightarrow 2x - 6 = 2\)
  \(\Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\) (Loại vì đang xét \(x > 4\)).
• kết quả là :

|x - 2| + |x - 4| = 2
Nếu x < 2:
2 - x + 4 - x = 2
6 - 2x = 2
x = 2, không thỏa mãn x < 2
Nếu 2 <= x <= 4:
x - 2 + 4 - x = 2
2 = 2, luôn đúng
Nếu x > 4:
x - 2 + x - 4 = 2
2x - 6 = 2
x = 4, không thỏa mãn x > 4
Vậy 2 <= x <= 4, vì mọi x trong đoạn từ 2 đến 4 đều thỏa mãn phương trình.

Ta có: \(\left|x-2\right|+\left|x-4\right|=2\)

=>\(\left|x-2\right|+\left|4-x\right|=2\)

mà \(\left|x-2\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-2+4-x\right|=2\forall x\)

nên dấu '=' xảy ra khi (x-2)(x-4)<=0

=>2<=x<=4