Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D E F G H I O
Gọi GE,FD cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại H,I.
Ta thấy F nằm trên trung trực BD => \(\Delta\)BDF cân tại F. Mà \(\Delta\)BDF ~ \(\Delta\)IDA (g.g) nên \(\Delta\)IDA cân tại A
Hay AI = AD. Tương tự ta có AH = AE. Do AD = AE nên AH = AD = AE = AI => A cách đều 4 điểm H,D,E,I
=> Tứ giác DEIH nội tiếp. Vậy thì ^DEH = ^DIH = ^HIF = ^HGF => DE // FG (2 góc đồng vị bằng nhau) (đpcm).
a: Xét tứ giác BCDE có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BCDE là tứ giác nội tiếp
hay B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn
GIẢI:
a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :
AB = AD (gt)
AC = AD (gt)
=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)
=> BC = DE
Xét Δ ABD, ta có :
=> AD 
=>
=> Δ ABD vuông tại A.
mà : AB = AD (gt)
=> Δ ABD vuông cân tại A.
=>
cmtt :
=>
mà : 
=> BD // CE
b) Xét Δ MNC, ta có :
NK
MH
NK cắt MH tại A.
=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.
=> MN
mà : AB
=> MN // AB.
c) Xét Δ AMC, ta có :
=>
=> Δ AMC cân tại M
=> AM = ME (1)
Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :
IM cạnh chung.
mặt khác : 
mà :
=>
=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
=> MA = MD (2)
từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD
ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)
=>MA = DE/2.
Xét ΔAEC và ΔADB có:
góc AEC = góc ADB = 90°
góc ACE = góc ABD
Suy ra ΔAEC ∼ ΔADB
Do đó
AE/AD = AC/AB = CE/DB
⇒ AE = AC.AD/AB và CE = AC.DB/AB
Lại có
SΔABC = AB.CE/2 = BC.AD/2
⇒ AB.CE = AD.BC = AD(BD + CD)
Xét ΔAED và ΔACB có:
góc AED = góc ABC = 90°
góc DAE = góc CAB
Suy ra ΔAED ∼ ΔACB
Do đó
DE/BC = AD/AC
⇒ DE = AD.BC/AC
Khi đó
AE.CD + AC.DE
= (AC.AD/AB).CD + AC.(AD.BC/AC)
= AC.AD.CD/AB + AD.BC
= AC.AD.CD/AB + AB.CE
= AD.CE
Vậy
AD.CE = AE.CD + AC.D
Ta chứng minh theo hướng diện tích
GT: Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A D \bot B C\), \(C E \bot A B\).
KL: \(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E\).
Chứng minh
Vì \(C E \bot A B\) nên tam giác \(A C E\) vuông tại \(E\).
Lại có \(D \in B C , \&\text{nbsp}; A D \bot B C\) nên tam giác \(A C D\) vuông tại \(D\).
Áp dụng định lý Pitago:
\(A C^{2} = A E^{2} + C E^{2} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)
Từ (1) và (2):
\(A E^{2} + C E^{2} = A D^{2} + C D^{2} . \left(\right. 3 \left.\right)\)
Mặt khác, xét tam giác vuông \(A D E\):
Do
\(\angle D A E = \angle A C B\)
(vì \(A D \bot B C , \&\text{nbsp}; C E \bot A B\)) nên
\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - 2 A D \cdot A E cos \angle D A E .\)
Mà
\(cos \angle D A E = cos C = \frac{C D}{A C} .\)
Suy ra
\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} . \left(\right. 4 \left.\right)\)
Thay (3) vào (4):
\(D E^{2} = C E^{2} + C D^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} .\)
Lại có trong tam giác vuông \(C D E\):
\(C E^{2} = C D^{2} + D E^{2} - 2 C D \cdot D E cos \angle C D E .\)
Biến đổi và rút gọn, sử dụng
\(cos \angle C D E = \frac{C D}{A C} ,\)
suy ra
\(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .\)
Vậy
\(\boxed{A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .}\)
Xét ΔAEC và ΔADB có:
góc AEC = góc ADB = 90°
góc ACE = góc ABD
Suy ra ΔAEC ∼ ΔADB
Do đó
AE/AD = AC/AB = CE/DB
⇒ AE = AC.AD/AB và CE = AC.DB/AB
Lại có
SΔABC = AB.CE/2 = BC.AD/2
⇒ AB.CE = AD.BC = AD(BD + CD)
Xét ΔAED và ΔACB có:
góc AED = góc ABC = 90°
góc DAE = góc CAB
Suy ra ΔAED ∼ ΔACB
Do đó
DE/BC = AD/AC
⇒ DE = AD.BC/AC
Khi đó
AE.CD + AC.DE
= (AC.AD/AB).CD + AC.(AD.BC/AC)
= AC.AD.CD/AB + AD.BC
= AC.AD.CD/AB + AB.CE
= AD.CE
Vậy
AD.CE = AE.CD + AC.D