Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2a) Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{10}=\frac{y}{6}=\frac{z}{21}\) => \(\frac{5x}{50}=\frac{y}{6}=\frac{2z}{42}=\frac{5x+y-2z}{50+6-42}=\frac{28}{14}=2\)
=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{10}=2\\\frac{y}{6}=2\\\frac{z}{21}=2\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}x=2.10=20\\y=2.6=12\\z=2.21=42\end{cases}}\)
Vậy x,y,z lần lượt là 20; 12; 42
#)Giải :
Bài 2 :
d) Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k\)
\(\Rightarrow x=2k;y=3k;z=5k\)
\(\Rightarrow2k.3k.5k=810\)
\(\Rightarrow30k^3=810\)
\(\Rightarrow k^3=3\)
\(\Rightarrow k=3\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=3\\\frac{y}{3}=3\\\frac{z}{5}=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\x=9\\x=15\end{cases}}}\)
Vậy x = 6; y = 9; z = 15
1) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{12x-15y}{7}=\frac{20y-12x}{9}=\frac{15y-20z}{11}=\frac{12x-15y+20z-12x+15y-20z}{7+9+11}=\frac{0}{27}=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12x-15y=0\\15y-20z=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12x=15y\\15y=20z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{15}=\frac{y}{12}\\\frac{y}{20}=\frac{z}{15}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{x}{75}=\frac{y}{60}\\\frac{y}{60}=\frac{z}{45}\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{75}=\frac{y}{60}=\frac{z}{45}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{75}=\frac{y}{60}=\frac{z}{45}=\frac{x+y+z}{75+60+45}=\frac{48}{180}=\frac{4}{15}\)
=> x = 75.4 : 15 = 20 ;
y = 60.4 : 15 = 16 ;
z = 45.4 : 15 = 12
Vậy x = 20 ; y = 16 ; z = 12
2) Từ đẳng thức \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{z}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{z+t+x}=\frac{x+y+z+t}{t+x+y}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
Nếu x + y + z + t = 0
=> x + y = - (z + t)
=> y + z = - (t + x)
=> z + t = - (x + y)
=> t + x = - (z + y)
Khi đó :
P = \(\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\frac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{-\left(z+y\right)}{z+y}=-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)
=> P = 4
Nếu x + y + z + t khác 0
=> \(\frac{1}{y+z+t}=\frac{1}{z+t+x}=\frac{1}{t+x+y}=\frac{1}{x+y+z}\)
=> y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
=> x =y = z = t
Khi đó : P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Vậy nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
nếu x + y + z + t khác 0 thì P = 4
1) ADTCDTSBN
có: \(\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{-7}=\frac{x-y-z}{3-5+7}=\frac{20}{5}=4.\)
=> ...
a) \(2x=3y\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\) (1)
\(3y=5z\Rightarrow\frac{y}{5}=\frac{z}{3}\) (2)
Từ (1);(2) suy ra: \(\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{6}\)
Theo đề: \(\left|x-2y\right|=5\)
\(\Rightarrow x-2y=5\) (nếu \(x-2y\ge0\Leftrightarrow x\ge2y\) )
\(x-2y=-5\) (nếu \(x< 2y\) )
Vậy có hai trường hợp
TH1: Nếu \(x\ge2y\) suy ra: \(\frac{x}{15}=\frac{y}{10}\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{2y}{20}=\frac{x-2y}{15-20}=\frac{5}{-5}=-1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=15.\left(-1\right)=-15\\y=10.\left(-1\right)=-10\\z=6.\left(-1\right)=-6\end{cases}}\) (nhận)
TH2: Nếu x < 2y suy ra: \(\frac{x}{15}=\frac{y}{10}\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{2y}{20}=\frac{x-2y}{15-20}=\frac{-5}{-5}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=15.1=15\\y=10.1=10\\z=6.1=6\end{cases}}\) (nhận)
b) \(5x=2y\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{5}\) (1)
\(2x=3z\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{z}{2}\) (2)
Từ (1);(2) => \(\frac{x}{6}=\frac{y}{15}=\frac{z}{10}\)
Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{15}=\frac{z}{10}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6k\\y=15k\\z=10k\end{cases}\Rightarrow xy=6k.15k=90k^2=90\Rightarrow k^2=1\Rightarrow k=\left\{-1;1\right\}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6.1=6\\y=15.1=15\\z=10.1=10\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=6.\left(-1\right)=-6\\y=15.\left(-1\right)=-15\\z=10.\left(-1\right)=-10\end{cases}}\)
c) Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
= \(\frac{y+z+1+x+z+2+x+y-3}{x+y+z}\)
= \(\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}\)
= \(\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
=> \(\frac{1}{x+y+z}=2\) => x + y + z = 1/2
=> \(\frac{y+z+1}{x}=2\) => y + z + 1 = 2x
=> y + z + x + 1 = 3x
=> 1/2 + 1 = 3x
=> 3/2 = 3x
=> x = 3/2 : 3 = 1/2
=> \(\frac{x+z+2}{y}=2\) => x + z + 2 = 2y
=> x + z + y + 2 = 3y
=> 1/2 + 2 = 3y
=> 5/2 = 3y
=> y = 5/2 : 3 = 5/6
=> \(\frac{x+y-3}{z}=2\)=> x + y - 3 = 2z
=> x + y + z - 3 = 3z
=> 1/2 - 3 = 3z
=> 3z = -5/2
=> z = -5/2 : 3 = -5/6
Vậy ...
a)\(\left(3x-5\right)^{2006}+\left(y^2-1\right)^{2008}+\left(x-z\right)^{2010}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-5\right)^{2006}=0\Leftrightarrow3x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\)
hay\(\left(y^2-1\right)^{2008}=0\Leftrightarrow y^2-1=0\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm1\)
hay\(\left(x-z\right)^{2010}=0\Leftrightarrow x-z=0\Leftrightarrow\frac{5}{3}-z=0\Leftrightarrow z=\frac{5}{3}\)
V...\(x=\frac{5}{3},y=\pm1,z=\frac{5}{3}\)
b)Ta co:\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{16}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4+9+16}=\frac{116}{29}=4\)
Suy ra:\(\frac{x}{2}=4\Leftrightarrow x=8\)
\(\frac{y}{3}=4\Leftrightarrow y=12\)
\(\frac{z}{4}=4\Leftrightarrow z=16\)
V...
Câu hỏi của Lê Xuân Phú - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có:
1/x² + 1/y² + 1/z² + 1/t² = 1
Giả sử x ≤ y ≤ z ≤ t.
Khi đó:
4/x² ≥ 1
suy ra x² ≤ 4 ⇒ x ≤ 2.
Vì x là số nguyên dương nên x = 1 hoặc x = 2.
Nếu x = 1 thì:
1 + 1/y² + 1/z² + 1/t² > 1 (vô lý)
Vậy x = 2
Thay vào ta được:
1/y² + 1/z² + 1/t² = 3/4
Lại có y ≥ 2
Nếu y ≥ 3 thì:
1/y² + 1/z² + 1/t² ≤ 3 × 1/9 = 1/3 < 3/4 (vô lý)
Do đó y = 2.
Suy ra:
1/z² + 1/t² = 1/2
Vì z ≥ 2
Nếu z ≥ 3 thì:
1/z² + 1/t² ≤ 2 × 1/9 = 2/9 < 1/2 (vô lý)
Vậy z = 2
Khi đó:
1/t² = 1/2 − 1/4 = 1/4
⇒ t² = 4
⇒ t = 2
Vậy nghiệm duy nhất (không kể thứ tự) là:
x = y = z = t = 2
ta nhận thấy dù đổi chỗ các phân số với nhau thì giá trị đều ko đổi
ko mất tính tổng quát , giả sử rằng:
\(1\le x\le y\le z\le t\)
=> \(1\le x^2\le y^2\le z^2\le t^2\)
=> \(1\ge\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{t^2}>0\)
=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\)
\(1\le\frac{4}{x^2}\)
nhân cả hai vế với \(x^2\) ( \(x^2>0\) )
=> \(x^2\le4\)
vì x nguyên dương nên \(x^2\) chỉ có thể bằng 1 hoặc 4
TH1:x=1
thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)
\(1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=0\) ( vô lí vì \(\frac{1}{y^2};\frac{1}{z^2};\frac{1}{t^2}>0\) )
TH2: x=2
thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)
\(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=\frac34\)
tương tự ta có ở giả sử \(y\le z\le t\)
\(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\le\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{3}{y^2}\)
=> \(\frac34\le\frac{3}{y^2}\)
=> \(y^2\ge4\)
mà vì \(y\ge x\) trong đó x=2=> \(y\ge2\)
vậy y=2
thay y=2 vào ta có:
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=\frac34\)
\(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=\frac34-\frac14=\frac12\)
lại có \(z\le t\)
=> \(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{2}{z^2}\)
=> \(\frac12\le\frac{2}{z^2}\)
\(\Rightarrow z^2\le4\)
vì \(y\le z\) mà y=2=> \(z\ge2\)
=> z=2
thay x=2 vào ta có:
\(\frac14+\frac{1}{t^2}=\frac12\)
\(\frac{1}{t^2}=\frac14\)
\(\Rightarrow t^2=4\)
vì t∈\(Z^{+}\) => t=2
vậy x=y=z=t=2
Để giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 1$$Ta có thể sử dụng phương pháp chặn (giả định thứ tự) do vai trò của $x, y, z, t$ là bình đẳng như nhau.
Bước 1: Giả định thứ tự các biến
Không mất tính tổng quát, giả sử: $x \le y \le z \le t$ (với $x, y, z, t \in \mathbb{Z}^+$).
Từ đó suy ra: $\frac{1}{x^2} \ge \frac{1}{y^2} \ge \frac{1}{z^2} \ge \frac{1}{t^2}$
Bước 2: Chặn giá trị của $x$
Theo giả thiết trên, ta có:
$$1 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} \le \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^2}$$$$\Rightarrow 1 \le \frac{4}{x^2} \Rightarrow x^2 \le 4$$Vì $x \in \mathbb{Z}^+$ nên $x$ chỉ có thể nhận các giá trị từ $\{1, 2\}$.
Thay vào phương trình ta được: $1 + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 0$ (Vô lý vì $y, z, t \in \mathbb{Z}^+$).
Bước 3: Chặn giá trị của $y$
Thay $x = 2$ vào phương trình ban đầu:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = \frac{3}{4}$$Tiếp tục áp dụng đánh giá với điều kiện $2 = x \le y \le z \le t$:
$$\frac{3}{4} = \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} \le \frac{3}{y^2}$$$$\Rightarrow \frac{3}{4} \le \frac{3}{y^2} \Rightarrow y^2 \le 4$$Vì $y \ge x = 2$ nên $y^2 \ge 4$. Kết hợp lại ta có $y^2 = 4 \Rightarrow$ $y = 2$.
Bước 4: Tìm giá trị của $z$ và $t$
Thay tiếp $y = 2$ vào biểu thức:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = \frac{1}{2}$$Tiếp tục đánh giá với điều kiện $2 = y \le z \le t$:
$$\frac{1}{2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} \le \frac{2}{z^2}$$$$\Rightarrow \frac{1}{2} \le \frac{2}{z^2} \Rightarrow z^2 \le 4$$Vì $z \ge y = 2$ nên $z^2 \ge 4$. Do đó $z^2 = 4 \Rightarrow$ $z = 2$.
Cuối cùng, thay $z = 2$ để tìm $t$:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{t^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{t^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow$ $t = 2$.
Kết luận
Dưới điều kiện giả định $x \le y \le z \le t$, ta tìm được một nghiệm duy nhất là $x = y = z = t = 2$.
Vì tất cả các biến đều bằng nhau, việc hoán vị các vị trí không tạo ra bộ số mới.
Vì x, y, z, t thuộc Z+ nên x, y, z, t đều là số nguyên dương
Nếu một số bằng 1 thì 1/số đó² = 1, tổng sẽ lớn hơn 1, vô lí
Nên x, y, z, t đều lớn hơn hoặc bằng 2
Suy ra 1/x², 1/y², 1/z², 1/t² đều nhỏ hơn hoặc bằng 1/4
Mà tổng của 4 phân số bằng 1
Nên cả 4 phân số đều phải bằng 1/4
Do đó x² = y² = z² = t² = 4
Vậy x = y = z = t = 2.