• Câu b: Tính góc EDF
• • Tương tự như câu a, ta có thể chứng minh DF là tia phân giác ngoài của góc D trong tam giác ADC.
  • Vì DE là phân giác ngoài của  và DF là phân giác ngoài của , mà  và  là hai góc kề bù, nên DE vuông góc với DF.
  • Vậy, . 

a)

• \(A D\) là phân giác nên \(\angle D A B = 60^{\circ}\).
• \(B E\) là phân giác nên \(\angle D E B = 60^{\circ} - \frac{B}{2}\).
• Góc ngoài tại \(D\) của \(\triangle A D B\):

\(60^{\circ} + B = 2 \left(\right. 60^{\circ} - \frac{B}{2} \left.\right) = 2 \angle D E B .\)

Suy ra \(D E\) là tia phân giác góc ngoài của \(\triangle A D B\).

b)

\(\angle EDF=90^{\circ}-\frac{C}{2}=60^{\circ}+\frac{B}{2}.\)

a)Kẻ tia đối Ax của tia AB.
-> góc CAx = 180° - góc BAC = 180° - 120° = 60° (hai góc kề bù)
Mà AD là tia phân giác của góc A

-> góc BAD = góc CAD = 120° : 2 = 60°.
--> góc CAx = góc CAD = 60°.
=> AC chính là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ADB.

BE là tia phân giác của góc trong tại đỉnh B

AC (hay đường thẳng AE) là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A

Hai đường phân giác này cắt nhau tại E

b)Chứng minh tương tự câu a cho tam giác ADC với tia đối Ay của tia AC:
-> góc BAy = 180° - 120° = 60° = góc BAD.
-> AB là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ADC.

CF là tia phân giác góc trong tại đỉnh C

AB (hay đường thẳng AF) là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A

Hai đường phân giác này cắt nhau tại F

DE là tia phân giác của góc ADC

DF là tia phân giác của góc ADB

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài của tam giác ADB

• Bước 1: Tính góc $\widehat{ADC}$
  Vì $AD$ là tia phân giác trong của góc $\widehat{A}$ trong tam giác $ABC$, nên:$$\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$Kéo dài cạnh $BA$ về phía $A$ tạo thành tia $Ax$. Ta có $\widehat{xAC}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc kề bù, do đó:$$\widehat{xAC} = 180^\circ - \widehat{BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$Nhận thấy $\widehat{xAC} = \widehat{CAD} = 60^\circ$, suy ra $AC$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ADB$.
• Bước 2: Sử dụng tính chất ba đường phân giác trong tam giác
  Xét tam giác $ADB$:
  Hai đường phân giác này cắt nhau tại $E$. Theo tính chất hình học: "Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc và đường phân giác trong của góc thứ ba đồng quy tại một điểm".
  Do đó, điểm $E$ chính là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác $ADB$. Suy ra đoạn thẳng nối từ đỉnh còn lại ($D$) đến $E$ là $DE$ phải là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADB$.
• • $BE$ là đường phân giác trong tại đỉnh $B$ (theo giả thiết).
  • $AC$ (hay đường thẳng chứa $AE$) là đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$ (chứng minh ở trên).

b) Tính số đo của góc $\widehat{EDF}$

• Bước 1: Chứng minh tương tự với DF
  Hoàn toàn tương tự như câu a, nếu ta xét tam giác $ADC$:
  Hai đường thẳng này cắt nhau tại $F$. Do đó, $F$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ADC$. Suy ra $DF$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADC$.
• • $CF$ là đường phân giác trong tại đỉnh $C$.
  • $AB$ (hay đường thẳng chứa $AF$) là đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ADC$ (vì $\widehat{xAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$).
• Bước 2: Tính góc $\widehat{EDF}$
  Gọi tia đối của tia $DB$ là tia $Dy$.
  Nhận thấy góc $\widehat{ADy}$ và góc $\widehat{ADB}$ là hai góc kề bù ($\widehat{ADy} + \widehat{ADB} = 180^\circ$).
  Theo tính chất: "Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau". Do $DE$ và $DF$ lần lượt là phân giác của hai góc kề bù $\widehat{ADy}$ và $\widehat{ADB}$, nên chúng vuông góc với nhau.
• • Vì $DE$ là phân giác góc ngoài của tam giác $ADB$ tại đỉnh $D$, nên $DE$ là phân giác của góc $\widehat{ADE}$ hoặc góc kề bù với nó. Cụ thể hơn, góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADB$ là góc $\widehat{ADy}$. Do đó $DE$ là phân giác của góc $\widehat{ADy}$.
  • Vì $DF$ là phân giác góc ngoài của tam giác $ADC$ tại đỉnh $D$, góc ngoài tương ứng chính là góc $\widehat{ADB}$. Do đó $DF$ là phân giác của góc $\widehat{ADB}$.

Kết luận:

a) Đã chứng minh $DE$ là tia phân giác góc ngoài của tam giác $ADB$.

b) Số đo góc $\widehat{EDF} = 90^\circ$.

Gọi AB = c, AC = b, BC = a
Vì góc A = 120° nên theo công thức đường phân giác:
AD = AB x AC / (AB + AC) = bc/(b + c)
Theo định lí phân giác:
BD/DC = AB/AC = c/b
Suy ra DC = ab/(b + c), BD = ac/(b + c)
a) Ta có DC/AD = ab/(b + c) : bc/(b + c) = a/c = BC/AB
Mà BE là phân giác nên CE/EA = BC/AB
Suy ra CE/EA = DC/AD
Vậy trong tam giác CDA, DE là tia phân giác góc CDA, mà góc CDA là góc ngoài của tam giác ADB, nên DE là tia phân giác góc ngoài của tam giác ADB
b) Vì CF là phân giác nên AF/FB = AC/BC = b/a
Mà AD/DB = bc/(b + c) : ac/(b + c) = b/a
Suy ra AF/FB = AD/DB
Vậy DF là tia phân giác góc ADB
Do DE là phân giác góc ngoài tại D, DF là phân giác góc trong tại D, hai tia phân giác này vuông góc nhau
Vậy góc EDF = 90°