Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tham khảo
https://cungthi.online/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-tap-hop-nhung-diem-m-thoaman-4mambmc-30238-1652.html
Gọi G là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)
⇒ \(MA^2+MB^2+MC^{2^{ }}+2VT=9MG^2\)
⇒ VT = 9MG2 - MA2 + MB2 + MC2
⇒ \(\dfrac{a^2}{6}\) = 9MG2 - MA2 + MB2 + MC2
MA2 + MB2 + MC2
\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
= 3MG2 + 2\(\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)+ GA2 + GB2 + GC2
= 3MG2 + \(GA^2+GB^{2^{ }}+GC^2\)
do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Vậy ta có
\(\dfrac{a^2}{6}=6MG^2-GA^2-GB^2-GC^2\)
⇔ \(\dfrac{a^2}{6}+\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)=6MG^2\)(1)
Lưu ý, GA,GB,GC lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C. Nhưng do ΔABC đều nên chúng sẽ lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường cao kẻ từ A,B,C (đặt là ha ; hb; hc)
Dễ dàng tìm được ha = hb = hc = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
⇒ GA = GB = GC = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
⇒ GA2 = GB2 = GC2 = \(\dfrac{a^2}{3}\)
⇒ GA2 + GB2 + GC2 = a2
Thay vào (1)
\(\dfrac{a^2}{6}+a^2=3MG^2\) ⇔ MG2 = \(\dfrac{7a^2}{18}\)
⇔ MG = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)
Vậy R = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)
Ai xem hộ sai chỗ nào vs
oh
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm \(A , B , C\)
Bước 2: Gọi \(M = \left(\right. x , y \left.\right)\), viết biểu thức các khoảng cách
Bước 3: Thay vào đẳng thức
\(4 M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = \frac{5 a^{2}}{2}\)Thay các biểu thức:
\(4 \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) + \left(\right. \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + y^{2} \left.\right) + \left(\right. \left(\left(\right. x - \frac{a}{2} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{2} \left.\right)\right)^{2} \left.\right) = \frac{5 a^{2}}{2}\)Bước 4: Mở rộng và nhóm các hạng tử
- Mở rộng từng phần:
\(4 x^{2} + 4 y^{2} + \left(\right. x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} \left.\right) + \left(\right. x^{2} - a x + \frac{a^{2}}{4} + y^{2} - a y \sqrt{3} + \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) = \frac{5 a^{2}}{2}\)- Cộng các hệ số:
\(4 x^{2} + x^{2} + x^{2} = 6 x^{2}\)\(4 y^{2} + y^{2} + y^{2} = 6 y^{2}\)\(- 2 a x - a x = - 3 a x\)\(- a y \sqrt{3}\)\(a^{2} + \frac{a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{4} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}\)Vậy phương trình trở thành:
\(6 x^{2} + 6 y^{2} - 3 a x - a y \sqrt{3} + 2 a^{2} = \frac{5 a^{2}}{2}\)Bước 5: Chuyển vế và chuẩn hóa
\(6 x^{2} + 6 y^{2} - 3 a x - a y \sqrt{3} = \frac{5 a^{2}}{2} - 2 a^{2} = \frac{5 a^{2}}{2} - \frac{4 a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}\)Chia cả hai vế cho 6:
\(x^{2} + y^{2} - \frac{3 a}{6} x - \frac{a \sqrt{3}}{6} y = \frac{a^{2}}{12}\)Hay:
\(x^{2} + y^{2} - \frac{a}{2} x - \frac{a \sqrt{3}}{6} y = \frac{a^{2}}{12}\)Bước 6: Hoàn thành bình phương
Viết lại:
\(x^{2} - \frac{a}{2} x + y^{2} - \frac{a \sqrt{3}}{6} y = \frac{a^{2}}{12}\)Hoàn thành bình phương từng biến:
- Với \(x\):
\(x^{2} - \frac{a}{2} x = \left(\left(\right. x - \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. x - \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} - \frac{a^{2}}{16}\)- Với \(y\):
\(y^{2} - \frac{a \sqrt{3}}{6} y = \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} - \frac{3 a^{2}}{144} = \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} - \frac{a^{2}}{48}\)Thay vào phương trình:
\(\left(\left(\right. x - \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} - \frac{a^{2}}{16} + \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} - \frac{a^{2}}{48} = \frac{a^{2}}{12}\)Bước 7: Cộng các hằng số sang vế phải
\(\left(\left(\right. x - \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} = \frac{a^{2}}{12} + \frac{a^{2}}{16} + \frac{a^{2}}{48}\)Tính tổng bên phải:
- Quy đồng mẫu số 48:
\(\frac{a^{2}}{12} = \frac{4 a^{2}}{48} , \frac{a^{2}}{16} = \frac{3 a^{2}}{48} , \frac{a^{2}}{48} = \frac{a^{2}}{48}\)Tổng:
\(\frac{4 a^{2}}{48} + \frac{3 a^{2}}{48} + \frac{a^{2}}{48} = \frac{8 a^{2}}{48} = \frac{a^{2}}{6}\)Bước 8: Kết luận
- Phương trình đường tròn là:
\(\left(\left(\right. x - \frac{a}{4} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - \frac{a \sqrt{3}}{12} \left.\right)\right)^{2} = \frac{a^{2}}{6}\)- Bán kính đường tròn:
\(R = \sqrt{\frac{a^{2}}{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}\)Đáp án:
\(\boxed{R = \frac{a}{\sqrt{6}}}\)Gọi $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$.
Ta có:
$GA^2=GB^2=GC^2=\dfrac{a^2}{3}$
Theo công thức trọng tâm:
$MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+a^2$
Suy ra:
$MB^2+MC^2=3MG^2+a^2-MA^2$
Thế vào đề bài:
$4MA^2+3MG^2+a^2-MA^2=\dfrac{5a^2}{2}$
$3(MA^2+MG^2)=\dfrac{3a^2}{2}$
$MA^2+MG^2=\dfrac{a^2}{2}$
Lại có:
$MA^2=MG^2+GA^2-2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}$
$=MG^2+\dfrac{a^2}{3}-2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}$
Suy ra:
$2MG^2-2\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{a^2}{2}$
$MG^2-\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}=\dfrac{a^2}{12}$
$MG^2-\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}+\dfrac{GA^2}{4}=\dfrac{a^2}{12}+\dfrac{a^2}{12}$
$\left|\overrightarrow{MG}-\dfrac12\overrightarrow{GA}\right|^2=\dfrac{a^2}{6}$
Vậy quỹ tích là đường tròn có bán kính
$R=\sqrt{\dfrac{a^2}{6}}=\boxed{\dfrac{a\sqrt6}{6}}$.
Gọi G là điểm thỏa mãn 4GA + GB + GC = 0
Ta có 4MA² + MB² + MC² = 6MG² + 3a²/2
Suy ra 6MG² + 3a²/2 = 5a²/2
6MG² = a²
MG² = a²/6
MG = a/√6
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R = a/√6.