Câu hỏi của Nguyễn Thảo Nhi

Question

Cho $A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{99.100}.$ Chứng minh rằng: $\frac{7}{12}

Hương Giang · Accepted Answer

1. Chứng minh $A > \frac{7}{12}$Nhóm các số hạng đầu tiên của tổng:
$A=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\dots +\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$
$A=\frac{7}{12}+\left(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{7.8}+\dots +\frac{1}{99.100}\right)$Vì các cụm số hạng trong ngoặc đều dương ($\frac{1}{n(n+1)} > 0$), nên:

$A > \frac{7}{12}$ (1)

2. Chứng minh $A < \frac{5}{6}$Tương tự, ta nhóm theo cách khác:
$A=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)+\dots +\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$
$A=\frac{37}{60}+\dots $
(Cách này hơi phức tạp, hãy thử cách chặn trên đơn giản hơn).Ta biết: $A = (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{5.6} + \dots + \frac{1}{99.100}$.
Xét tổng $A = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) - \dots - (\frac{1}{98} - \frac{1}{99}) - \frac{1}{100}$.
$A=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{20}-\dots -\frac{1}{100}$
$A=\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{20}+\dots +\frac{1}{100}\right)$Vì cụm trừ đi là số dương, nên:

$A < \frac{5}{6}$ (2)

ko dùng ai

Câu trả lời: 1. Chứng minh $A > \frac{7}{12}$Nhóm các số hạng đầu tiên của tổng:
$A=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\dots +\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$
$A=\frac{7}{12}+\left(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{7.8}+\dots +\frac{1}{99.100}\right)$Vì các cụm số hạng trong ngoặc đều dương ($\frac{1}{n(n+1)} > 0$), nên:

$A > \frac{7}{12}$ (1)

2. Chứng minh $A < \frac{5}{6}$Tương tự, ta nhóm theo cách khác:
$A=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)+\dots +\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$
$A=\frac{37}{60}+\dots $
(Cách này hơi phức tạp, hãy thử cách chặn trên đơn giản hơn).Ta biết: $A = (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{5.6} + \dots + \frac{1}{99.100}$.
Xét tổng $A = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) - \dots - (\frac{1}{98} - \frac{1}{99}) - \frac{1}{100}$.
$A=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{20}-\dots -\frac{1}{100}$
$A=\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{20}+\dots +\frac{1}{100}\right)$Vì cụm trừ đi là số dương, nên:

$A < \frac{5}{6}$ (2)

ko dùng ai

Huỳnh Gia Bảo · Answer

$A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\cdots+\frac{1}{99.100}$

$A=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$A=\left(1+\frac13+\cdots+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{100}\right)$

$A=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{100}\right)-2.\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{100}\right)$

$A=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{100}\right)-\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{50}\right)$

$A=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+\cdots+\frac{1}{100}$

Ta có:

$A=\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{75}\right)+\left(\frac{1}{76}+\frac{1}{77}+\cdots+\frac{1}{100}\right)$

$\Leftrightarrow\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{75}>\frac{1}{75}.25=\frac13$

$\Leftrightarrow\frac{1}{76}+\frac{1}{77}+\cdots+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}.25=\frac14$

Suy ra $A>\frac13+\frac14=\frac{7}{12}\left(1\right)$

Ta lại có:

$A=\left(\frac{1}{51}+\cdots+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\cdots+\frac{1}{80}\right)+\left(\frac{1}{81}+\ldots+\frac{1}{100}\right)$

$\Leftrightarrow\frac{1}{51}+\cdots+\frac{1}{60}<\frac{1}{50}.10=\frac15$

$\Leftrightarrow\frac{1}{61}+\cdots+\frac{1}{80}<\frac{1}{60}.20=\frac13$

$\Leftrightarrow\frac{1}{81}+\cdots+\frac{1}{100}<\frac{1}{80}.20=\frac14$

Suy ra $A<\frac15+\frac13+\frac14=\frac{47}{60}$

Vì $\frac{47}{60}<\frac{50}{60}=\frac56$ nên $A<\frac56\left(2\right)$

Từ (1)(2) suy ra $\frac{7}{12}

Câu trả lời: