Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Đặt tọa độ để dễ tính
Đặt tam giác \(A B C\) vào hệ trục toạ độ cho gọn:
- \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\),
- \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\),
- \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\).
=> Diện tích \(\triangle A B C = \frac{1}{2}\).
2. Xác định M và N
- Trên \(A B\): \(A M = 1.5 \textrm{ } M B \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{A M}{A B} = \frac{3}{5}\).
→ \(M\) chia \(A B\) theo tỉ số \(3 : 2\).
→ \(M \left(\right. \frac{3}{5} , \textrm{ } 0 \left.\right)\). - Trên \(A C\): \(A N = \frac{1}{2} A C\).
→ \(N \left(\right. 0 , \textrm{ } \frac{1}{2} \left.\right)\).
3. Diện tích \(\triangle A M N\)
Dùng công thức tọa độ:
\(S_{A M N} = \frac{1}{2} \mid x_{A} \left(\right. y_{M} - y_{N} \left.\right) + x_{M} \left(\right. y_{N} - y_{A} \left.\right) + x_{N} \left(\right. y_{A} - y_{M} \left.\right) \mid\)
Thay:
- \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ } M \left(\right. \frac{3}{5} , 0 \left.\right) , \textrm{ } N \left(\right. 0 , \frac{1}{2} \left.\right)\)
\(S_{A M N} = \frac{1}{2} \mid 0 \left(\right. 0 - \frac{1}{2} \left.\right) + \frac{3}{5} \left(\right. \frac{1}{2} - 0 \left.\right) + 0 \left(\right. 0 - 0 \left.\right) \mid\) \(= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{20}\)
4. Liên hệ tỉ lệ diện tích
Trong hệ tọa độ này, \(S_{A B C} = \frac{1}{2}\).
→ Tỉ lệ:
\(\frac{S_{A M N}}{S_{A B C}} = \frac{3 / 20}{1 / 2} = \frac{3}{10}\)
Nghĩa là: \(S_{A M N} = \frac{3}{10} S_{A B C}\).
5. Suy ra diện tích tứ giác BMNC
\(S_{B M N C} = S_{A B C} - S_{A M N} = S_{A B C} - \frac{3}{10} S_{A B C} = \frac{7}{10} S_{A B C} .\)
🎯 Kết quả cuối:
Nếu diện tích tam giác \(A M N\) cho sẵn bằng \(S\), thì:
\(S_{B M N C} = \frac{7}{3} S\)
- Bước 1: Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4\text{ cm}\) nên \(AB = BC = CD = DA = 4\text{ cm}\) và bốn góc tại các đỉnh bằng \(90^{\circ }\).
- Bước 2: Tính độ dài các đoạn còn lại trên các cạnh:
- Bước 3: Xét 4 tam giác vuông tại 4 góc: \(\triangle MAQ\), \(\triangle NBM\), \(\triangle PCN\), \(\triangle QDP\).
- Bước 4: Suy ra các cạnh huyền tương ứng bằng nhau: \(MQ = MN = NP = PQ\). Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Bước 5: Chứng minh góc vuông. Xét tại đỉnh \(M\), vì \(\triangle MAQ = \triangle NBM\) nên góc \(\widehat{AMQ} = \widehat{BNM}\).
- Kết luận: Tứ giác \(MNPQ\) có 4 cạnh bằng nhau và có 1 góc vuông nên \(MNPQ\) là hình vuông.
b) Tính diện tích của tứ giác \(MNPQ\)\(MB=AB-AM=4-1=3\text{\ cm}\)
Tương tự ta tính được: \(NC = 3\text{ cm}\); \(PD = 3\text{ cm}\); \(QA = 3\text{ cm}\).
Cả 4 tam giác này đều vuông và có hai cạnh góc vuông bằng \(1\text{ cm}\) và \(3\text{ cm}\). Do đó, 4 tam giác này bằng nhau (cạnh - góc - cạnh).
Mà trong tam giác vuông \(\triangle NBM\), ta có \(\widehat{BMN} + \widehat{BNM} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BMN} + \widehat{AMQ} = 90^\circ\).
Vì \(A, M, B\) thẳng hàng nên góc bẹt \(\widehat{AMB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{QMN} = 180^\circ - (\widehat{BMN} + \widehat{AMQ}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
\(S_{ABCD}=4\times 4=16\text{\ cm}^{2}\)
\(S_{MAQ}=\frac{1}{2}\times AM\times AQ=\frac{1}{2}\times 1\times 3=1.5\text{\ cm}^{2}\)
\(S_{4\,\text{tam\ giác}}=1.5\times 4=6\text{\ cm}^{2}\)
\(S_{MNPQ}=S_{ABCD}-S_{4\,\text{tam\ giác}}=16-6=10\text{\ cm}^{2}\)
Câu 1. MNPQ là hình vuông, vì các tam giác ở 4 góc bằng nhau nên MN = NP = PQ = QM, đồng thời các góc của MNPQ đều bằng 90°
Câu 2.
Diện tích ABCD = 4 x 4 = 16 cm2
Mỗi tam giác góc có 2 cạnh góc vuông là 1 cm và 3 cm
Diện tích mỗi tam giác = 1 x 3 : 2 = 1,5 cm2
Diện tích 4 tam giác = 1,5 x 4 = 6 cm2
Diện tích MNPQ = 16 - 6 = 10 cm2
Vậy diện tích tứ giác MNPQ là 10 cm2
- Xét các đoạn thẳng còn lại trên cạnh hình vuông:
- Chứng minh các cạnh bằng nhau:
- Chúng đều là các tam giác vuông tại các đỉnh của hình vuông \(ABCD\).
- Có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: \(AM=BN=CP=DQ=1\) cm và \(AQ=BM=CN=DP=3\) cm.
- Chứng minh có một góc vuông:
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.2. Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\)Có hai cách để tính diện tích này:Cách 1: Tính trực tiếp cạnh \(MN\)Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4\) cm và \(AM = BN = CP = DQ = 1\) cm, ta có:
\(MB = BC - BN = 4 - 1 = 3\) cm.
Tương tự: \(NC = PD = QA = 3\) cm.
Xét các tam giác vuông \(\triangle AMQ, \triangle BNM, \triangle CPN, \triangle DQP\):
\(\Rightarrow \triangle AMQ = \triangle BNM = \triangle CPN = \triangle DQP\) (cạnh - góc - cạnh).
\(\Rightarrow MQ = MN = NP = PQ\) (các cạnh tương ứng).
Vậy \(MNPQ\) là hình thoi.
Xét tại đỉnh \(M\): \(\widehat{AMQ} + \widehat{QMN} + \widehat{BMN} = 180^\circ\).
Vì \(\triangle AMQ = \triangle BNM\) nên \(\widehat{AMQ} = \widehat{BNM}\).
Mà trong tam giác vuông \(BNM\), \(\widehat{BNM} + \widehat{BMN} = 90^\circ\).
\(\Rightarrow \widehat{AMQ} + \widehat{BMN} = 90^\circ\).
\(\Rightarrow \widehat{QMN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(AMQ\):
\(MQ^2 = AM^2 + AQ^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\).
Diện tích hình vuông \(MNPQ\) là:
\(S_{MNPQ}=MQ^{2}=10\text{\ cm}^{2}\)Cách 2: Sử dụng phương pháp trừ diện tích
Diện tích hình vuông lớn \(ABCD\) là: \(S_{ABCD} = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2\).
Diện tích một tam giác vuông (ví dụ \(\triangle AMQ\)) là: \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5 \text{ cm}^2\).
Tổng diện tích 4 tam giác vuông xung quanh là: \(4 \times 1.5 = 6 \text{ cm}^2\).
Diện tích tứ giác \(MNPQ\) là:
\(S_{MNPQ}=S_{ABCD}-4\times S_{\triangle }=16-6=10\text{\ cm}^{2}\)
pls tích 👇
1: Ta có: AM+MB=AB
BN+NC=BC
CP+PD=CD
DQ+QA=DA
mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ
nên MB=NC=PD=QA=AB-AM=4-1=3(cm)
Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có
MA=NB
AQ=BM
Do đó: ΔMAQ=ΔNBM
=>MQ=NM
ΔMAQ=ΔNBM
=>\(\hat{AMQ}=\hat{BNM}\)
mà \(\hat{BNM}+\hat{BMN}=90^0\) (ΔBMN vuông tại B)
nên \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}=90^0\)
Ta có: \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}+\hat{QMN}=180^0\)
=>\(\hat{QMN}=180^0-90^0=90^0\)
Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có
MB=NC
BN=CP
Do đó: ΔMBN=ΔNCP
=>MN=NP
Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có
NC=PD
CP=DQ
Do đó: ΔNCP=ΔPDQ
=>NP=PQ
=>MN=NP=PQ=MQ
=>MNPQ là hình thoi
Hình thoi MNPQ có MN⊥MQ
nên MNPQ là hình vuông
2: ΔAMQ vuông tại A
=>\(AM^2+AQ^2=MQ^2\)
=>\(MQ^2=1^2+3^2=10\)
=>\(MQ=\sqrt{10}\) (cm)
MNPQ là hình vuông
=>\(S_{MNPQ}=MQ^2=10\left(\operatorname{cm}^2\right)\)