Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{B} = \widehat{C}$ Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có: $AB = AC$ (chứng minh trên) $\widehat{B} = \widehat{C}$ (chứng minh trên) $BD = CE$ (giả thiết) Suy ra: $\Delta ABD = \Delta ACE$ (c.g.c) Xét $\Delta BMD$ vuông tại $M$ ($\widehat{BMD} = 90^{\circ}$) và $\Delta CNE$ vuông tại $N$ ($\widehat{CNE} = 90^{\circ}$) có: $BD = CE$ (giả thiết) $\widehat{B} = \widehat{C}$ (chứng minh trên) Suy ra: $\Delta BMD = \Delta CNE$ (cạnh huyền - góc nhọn) Do đó: $DM = EN$ (hai cạnh tương ứng) Do $\Delta BMD = \Delta CNE$ (chứng minh trên) nên $\widehat{MDB} = \widehat{NEC}$ (hai góc tương ứng) Mặt khác, ta có: $\widehat{IDN} = \widehat{MDB}$ (hai góc đối đỉnh) $\widehat{IEM} = \widehat{NEC}$ (hai góc đối đỉnh) Suy ra: $\widehat{IDE} = \widehat{IED}$ Do đó: $\Delta IDE$ cân tại $I$ Do $\Delta IDE$ cân tại $I$ nên $ID = IE$ Lại có: $DM = EN$ (chứng minh trên) Suy ra: $ID + DM = IE + EN$ hay $IM = IN$ Xét $\Delta AMI$ vuông tại $M$ ($\widehat{AMI} = 90^{\circ}$) và $\Delta ANI$ vuông tại $N$ ($\widehat{ANI} = 90^{\circ}$) có: $AI$ là cạnh chung $IM = IN$ (chứng minh trên) Suy ra: $\Delta AMI = \Delta ANI$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Do đó: $AM = AN$ (hai cạnh tương ứng) Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có: $AB = AC$ (giả thiết) $AI$ là cạnh chung $IB = IC$ (vì $BD = CE$ và $ID = IE$ nên $BD + ID = CE + IE \Rightarrow IB = IC$) Suy ra: $\Delta ABI = \Delta ACI$ (c.c.c) Do đó: $\widehat{BAI} = \widehat{CAI}$, suy ra $AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AI$ đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ Ta có: $AM = AN$ (chứng minh trên) nên $\Delta AMN$ cân tại $A$ Suy ra: $\widehat{AMN} = \dfrac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2}$ Lại có $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \dfrac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2}$ Suy ra: $\widehat{AMN} = \widehat{B}$ Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $MN // BC$

a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác ACE

-> Xét tam giác ABC cân tại A, ta có cạnh AB = AC và góc ABD = góc ACE. -> Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: cạnh AB = AC (chứng minh trên) góc ABD = góc ACE (chứng minh trên) cạnh BD = CE (theo giả thiết) -> Suy ra tam giác ABD bằng tam giác ACE theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

b) Chứng minh DM = EN

-> Từ kết quả câu a, vì tam giác ABD bằng tam giác ACE nên ta suy ra góc BAD = góc CAE (hai góc tương ứng). -> Xét tam giác BMD vuông tại M và tam giác CNE vuông tại N có: cạnh BD = CE (theo giả thiết) góc MBD = góc NCE (do tam giác ABC cân tại A) -> Suy ra tam giác BMD bằng tam giác CNE theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn. -> Từ hai tam giác bằng nhau này, ta suy ra DM = EN (hai cạnh tương ứng).

c) Chứng minh tam giác IDE là tam giác cân

-> Từ kết quả câu b, do tam giác BMD bằng tam giác CNE nên ta có góc BDM = góc CEN (hai góc tương ứng). -> Ta có góc IDB đối đỉnh với góc BDM, suy ra góc IDB = góc BDM. -> Ta có góc IEC đối đỉnh với góc CEN, suy ra góc IEC = góc CEN. -> Từ các điều trên, suy ra góc IDB = góc IEC. -> Xét tam giác IDE, ta có góc IDB và góc IEC lần lượt là hai góc kề bù với góc IDM và góc IEN, kết hợp với các góc bằng nhau giúp ta suy ra góc IDE = góc IED. -> Vì tam giác IDE có hai góc ở đáy bằng nhau (góc IDE = góc IED) nên tam giác IDE cân tại đỉnh I.

d) Chứng minh AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC

-> Từ câu c, tam giác IDE cân tại I nên ta có ID = IE. -> Ta đã có DM = EN (chứng minh ở câu b). -> Do đó, ta tính được IM = ID + DM và IN = IE + EN, suy ra IM = IN. -> Xét tam giác AMI vuông tại M và tam giác ANI vuông tại N có: cạnh AI là cạnh chung cạnh IM = IN (chứng minh trên) -> Suy ra tam giác AMI bằng tam giác ANI theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông. -> Từ đó, ta suy ra AM = AN (hai cạnh tương ứng). -> Vì AB = AC và AM = AN, ta suy ra MB = NC (do MB = AB - AM và NC = AC - AN). -> Kết hợp với tam giác BMD bằng tam giác CNE, ta thấy điểm I cách đều hai điểm B và C (IB = IC). -> Đồng thời điểm A cũng cách đều B và C (AB = AC). -> Vì cả A và I đều cách đều hai điểm B và C nên đường thẳng AI chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

e) Chứng minh đường thẳng MN song song với đường thẳng BC

-> Trong tam giác AMN, vì AM = AN (chứng minh ở câu d) nên tam giác AMN cân tại đỉnh A. -> Do đó, số đo góc AMN được tính bằng biểu thức: (180 độ - góc A) / 2. -> Trong tam giác ABC, vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại đỉnh A. -> Do đó, số đo góc ABC cũng được tính bằng biểu thức: (180 độ - góc A) / 2. -> Từ hai biểu thức trên, ta suy ra góc AMN = góc ABC. -> Vì hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng MN và BC bị cắt bởi đường thẳng AB, nên ta kết luận đường thẳng MN song song với đường thẳng BC.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng MD và đường thẳng NE. Chứng minh tam giác IDE là tam giác cân ? hm...

a) xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

BD=CE

AB=AC( vì tam giác ABC là tam giác cân)

góc ABD= góc ACE

=> △ABD=△ACE(c.g.c)

b) từ câu a)

=> AD=AE và góc MAD= góc NAE

xét tam giác ADM và tam giác AEN có:

AD=AE

góc AMD= góc ANE= 90 độ

góc MAD= góc NAE

=> △ADM=△AEN(ch-gn)

=> DM=EN

c) xét tam giác BDM và tam giác NEC có:

MD=NE

góc DMB= góc ENC= 90 độ

BD=CE

=> △BDM=△BEC(ch-cgv)

=> góc MDB= góc NEC

mà góc MDB= góc EDI và góc NEC= góc DEI

=> góc EDI= góc DEI

=> tam giác IDE cân tại I

=> ID=IE

d) vì ID=IE

=> I thuộc đường trung trực của BC

AD=AE

=> A thuộc đường trung trực của BC

từ hai điều trên

=> AI là đường trung trực của BC

e) ta có △MDB= △NEC

=> MD=NE mà DI=DE

D∈ MI và E∈NI

=> MD+ DI= IE+EN

=> MI=IN

=> I thuộc đường trung trực MN

lại có △AMD=△ANE(cmt)

=> AM=AN

=> A thuộc đường trung trực của MN

từ hai điều trên

=> AI là đường trung trực của MN

=>AI ⊥MN

mà AI⊥BC

=> MN//BC

• Tư duy: Vì thế giới này đối xứng, nên khi bạn nối đỉnh \(A\) với hai điểm đối xứng \(D\) và \(E\), hai tam giác tạo thành ở hai bên chắc chắn phải bằng nhau.
• Chi tiết:
• • Cạnh bên trái bằng cạnh bên phải: \(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân).
  • Góc đáy bên trái bằng góc đáy bên phải: \(\widehat{B} = \widehat{C}\).
  • Khoảng cách từ đáy vào trong bằng nhau: \(BD = CE\) (giả thiết).
• Kết luận: Đủ 3 yếu tố Cạnh - Góc - Cạnh để kết luận \(\triangle ABD = \triangle ACE\).

• Tư duy: \(DM\) và \(EN\) là khoảng cách từ hai điểm đối xứng \(D, E\) lên hai cạnh bên \(AB, AC\). Do tính đối xứng, khoảng cách này buộc phải bằng nhau.
• Chi tiết: Ta đưa vào hai tam giác vuông nhỏ ở hai góc đáy là \(\triangle BMD\) và \(\triangle CNE\).
• • Cạnh huyền bằng nhau: \(BD = CE\).
  • Góc nhọn đáy bằng nhau: \(\widehat{B} = \widehat{C}\).
• Kết luận: Hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra hai "chân vịt" \(DM\) và \(EN\) bằng nhau.

• Tư duy: Khi hai đường thẳng \(MD\) và \(NE\) kéo dài và cắt nhau tại \(I\), điểm \(I\) này sẽ nằm ngay trên trục đối xứng chính giữa của hình. Do đó, khoảng cách từ \(I\) đến \(D\) và \(E\) phải bằng nhau, tạo thành một tam giác cân mới.
• Chi tiết:
• • Từ câu b, hai tam giác vuông đáy bằng nhau nên hai góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau: \(\widehat{BDM} = \widehat{CEN}\).
  • Mà góc \(\widehat{IDE}\) và \(\widehat{IED}\) chính là góc đối đỉnh (hoặc bù) với hai góc bằng nhau nói trên.
  • Khi một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau (\(\widehat{IDE} = \widehat{IED}\)), tam giác đó lập tức trở thành tam giác cân tại \(I\).

• Tư duy: Trong hình học, đường trung trực giống như một "thước đo công lý", tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút. Muốn chứng minh một đường thẳng là trung trực, ta chỉ cần tìm ra 2 điểm cách đều hai đầu mút đó.
• Chi tiết:
• • Điểm thứ nhất là \(A\): Vì \(\triangle ABC\) cân nên \(AB = AC\) \(\rightarrow \) \(A\) cách đều \(B\) và \(C\).
  • Điểm thứ hai là \(I\): Từ các tam giác bằng nhau ở câu trên, ta dễ dàng chứng minh được \(IB = IC\) (hoặc bạn có thể chứng minh \(AI\) là trung trực của \(DE\), mà trung điểm của \(DE\) cũng chính là trung điểm của \(BC\) vì \(BD=CE\)).
• Kết luận: Cả \(A\) và \(I\) đều nằm trên con đường chia đôi \(BC\) một cách vuông góc. Vậy \(AI\) chính là đường trung trực của \(BC\).

• Tư duy: Hãy tưởng tượng tam giác \(ABC\) như một tháp hình chữ A. Nếu bạn cắt bớt từ hai cạnh bên \(AB\) và \(AC\) hai đoạn bằng nhau là \(BM\) và \(CN\), thì đoạn thẳng \(MN\) còn lại ở phía trên sẽ tạo thành một thanh ngang hoàn toàn thăng bằng, song song với mặt đất \(BC\).
• Chi tiết:
• • Vì \(AB = AC\) và \(BM = CN\) (suy ra từ câu b), nên phần còn lại phía trên cũng bằng nhau: \(AM = AN\).
  • Điều này biến tam giác nhỏ phía trên \(\triangle AMN\) thành một tam giác cân tại \(A\).
  • Công thức góc đáy tam giác cân: \(\widehat{AMN} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}\).
  • Mà góc đáy lớn cũng vậy: \(\widehat{ABC} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}\).
• Kết luận: Hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau (\(\widehat{AMN} = \widehat{ABC}\)), chứng tỏ thanh ngang \(MN\) song song tuyệt đối với đáy \(BC\).

a: Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

BD=CE

Do đó: ΔABD=ΔACE

b: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE

Xét ΔDMB vuông tại M và ΔENC vuông tại E có

DB=EC

\(\hat{BDM}=\hat{ECN}\)

Do đó: ΔDMB=ΔENC

=>DM=EN

c: Ta có; \(\hat{IDB}+\hat{MDB}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{IEC}+\hat{NEC}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{MDB}=\hat{NEC}\)

nên \(\hat{IDB}=\hat{IEC}\)

ΔDMB=ΔENC

=>BM=CN

Ta có: AM+MB=AB

AN+NC=AC

mà AB=AC và BM=CN

nên AM=AN

Xét ΔAMI vuông tại M và ΔANI vuông tại N có

AI chung

AM=AN

Do đó: ΔAMI=ΔANI

=>IM=IN

Ta có: ID+DM=IM

IE+EN=IN

mà MD=NE và IM=IN

nên ID=IE

=>ΔIDE cân tại I

d: Xét ΔIDB và ΔIEC có

ID=IE

\(\hat{IDB}=\hat{IEC}\)

DB=EC

Do đó: ΔIDB=ΔIEC

=>IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AI là đường trung trực của BC

e: Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)

nên MN//BC