Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
ta tách lại biểu thức như sau:
\(A=\frac{\left(a^3+2a^2-1\right)}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{\left(a^2\left(a+1\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)\right)}{a^3+2a^2+2a+1}\)
\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a^3+1\right)+\left(2a^2+2a\right)}\)
\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)+2a\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{\left(a^2+a-1\right)}{a^2+a+1}\)
bài 2:
vì \(\left.\overline{abc}\right\vert\) và \(\overline{cba}\) là các số tự nhiên có 3 chữ số
=> \(100\le\overline{cba}\le999\)
=> \(100\le\left(n-2\right)^2\le999\)
vì \(10^2=100\) và \(31^2=961\)
=> \(10\le n-2\le31\)
=> \(12\le n\le33\)
ta lại có: \(100\le\overline{abc}\le999\)
\(\Rightarrow100\le n^2-1\le999\)
=> \(101\le n^2\le1000\)
vì \(10^2=100\) và \(31^2=961\)
=> \(11\le n\le31\)
vậy từ hai điều trên ta suy ra
\(12\le n\le31\)
ta có:
\(\overline{abc}-\overline{cba}=\left(n^2-1\right)-\left(n-2\right)^2\)
\(\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)=\left(n^2-1\right)-\left(n-2\right)\left(n-2\right)\)
\(\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)=\left(n^2-1\right)-\left(n^2-4n+4\right)\)
=> \(99\left(a-c\right)=4n-5\)
=> 4n-5⋮99
với n=12
=> 4.12-5=43
với n=31
=> 4*31-5=119
từ 43 đến 119 chỉ có duy nhất 99 chia hết cho 4n-5
=> 4n-5=99
4n=104
=>n=26
=> \(\overline{abc}=26^2-1=675\)
đảo ngược lại là: \(\overline{cba}=576\)
vậy số cần tìm là 675
bài 3:
gọi số chính phương cần tim là \(k^2\) ( k ∈ N, k>n)
=> \(n^2+2016=k^2\)
=> \(k^2-n^2=2016\)
\(\left(k-n\right)\left(k+n\right)=2016\)
vì (k-n)+(k+n)=2k là một số chẵn mà lại có tích của chúng là số chẵn
=> k-n và k+n phải là số chẵn
đặt k-n=2x và k+n=2y với x,y ∈N, x<y
=> \(2x\cdot2y=2016\Rightarrow4xy=2016\Rightarrow xy=504\)
đồng thời ta có: \(\left(k+n\right)-\left(k-n\right)=2n\Rightarrow2y-2x=2n\Rightarrow n=y-x\)
ta lập bảng thử các giá trị x;y là các số tự nhiên
x | y | n=y-x |
1 | 504 | 503 |
2 | 252 | 250 |
3 | 168 | 165 |
4 | 126 | 122 |
6 | 84 | 78 |
7 | 72 | 65 |
8 | 63 | 55 |
9 | 56 | 47 |
12 | 42 | 30 |
14 | 36 | 22 |
18 | 28 | 10 |
21 24 3
xin lỗi bạn bài 3 mik đặt thông số bảng sai nên vt thế này
Câu 5
Nếu p lẻ thì 3p lẻ nên 3p+7 chẵn,mà 3p+7 lầ số nguyên tố
Suy ra 3p+7=2(L)
Khí đó p chẵn,mà p là số nguyên tố nên p=2
Vậy p=2
Câu 3
Ta có:\(\overline{ab}-\overline{ba}=9\times\left(a-b\right)=3^2\times\left(a-b\right)\)
Mà ab-ba là số chính phương nên 3^2X(a-b) là số chính phương
Suy ra a-b là số chính phương
Mà 0<a-b<9 nên \(a-b\in\left\{1;4\right\}\)
Với a-b=1 mà 0<b<a nên ta có bảng sau:
| a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Với a-b=4 mà a>b>0 nên ta có bảng sau:
| a | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Vậy ..............
a) Đặt \(\left(n+1,n+2\right)=d\).
Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n+2\right)-\left(n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).
Suy ra đpcm.
b) Tương tự.
đề bài là 30n+1 thì mới làm được nếu là 30n+1 thì làm như sau
gọi d thuộc ước chung của 15n+1 và 30n+1
suy ra 15n+1 chia hết cho d
30n+1 chia hết cho d
vậy 2.(15n+1) chia hết cho d
30n+1 chia hết cho d
suy ra 30n+2 chia hết cho d
30n+1 chia hết cho d
vậy(30n+2)-(30n+1) chi hết cho d
1 chia hết cho d
vậy d thuộc tập hợp 1 và -1
c/m 15n+1/30n+1 là phân số tối giản
Xét các trường hợp.
Với \(n=0\), ta có
\[
A=0^4+4=4,
\]
không là số nguyên tố.
Với \(n=1\), ta có
\[
A=1^4+4=5,
\]
là số nguyên tố.
Với \(n>1\), ta chứng minh hằng đẳng thức sau:
\[
a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\]
Thật vậy,
\[
\begin{aligned}
a^4+4b^4
&=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\
&=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2\\
&=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)\\
&=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\end{aligned}
\]
Do đó,
\[
a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\]
Chọn \(a=n,\ b=1\), suy ra
\[
\begin{aligned}
n^4+4
&=n^4+4\cdot1^4\\
&=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2).
\end{aligned}
\]
Vì \(n>1\) nên
\[
n^2-2n+2=(n-1)^2+1>1,
\]
và
\[
n^2+2n+2=(n+1)^2+1>1.
\]
Do đó \(n^4+4\) là tích của hai số nguyên lớn hơn \(1\), suy ra \(n^4+4\) là hợp số.
Vậy giá trị duy nhất của \(n\) để \(n^4+4\) là số nguyên tố là
\[
{n=1.}
\]
Xét các trường hợp.
Với \(n = 0\), ta có
\[
A=0^4+4=4,
\]
không là số nguyên tố.
Với \(n = 1\), ta có
\[
A=1^4+4=5,
\]
là số nguyên tố.
Với \(n > 1\), ta chứng minh hằng đẳng thức sau:
\[
a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\]
Thật vậy,
\[
\begin{aligned}
a^4+4b^4
&=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\
&=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2\\
&=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)\\
&=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\end{aligned}
\]
Do đó,
\[
a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).
\]
Chọn \(a = n , \&\text{nbsp}; b = 1\), suy ra
\[
\begin{aligned}
n^4+4
&=n^4+4\cdot1^4\\
&=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2).
\end{aligned}
\]
Vì \(n > 1\) nên
\[
n^2-2n+2=(n-1)^2+1>1,
\]
và
\[
n^2+2n+2=(n+1)^2+1>1.
\]
Do đó \(n^{4} + 4\) là tích của hai số nguyên lớn hơn \(1\), suy ra \(n^{4} + 4\) là hợp số.
Vậy giá trị duy nhất của \(n\) để \(n^{4} + 4\) là số nguyên tố là
\[
{n=1.}
\]
Xét các trường hợp.
Với n = 0, ta có:
A = 0^4 + 4 = 4.
Vậy n = 0 không thỏa mãn.
Với n = 1, ta có:
A = 1^4 + 4 = 5.
Vậy n = 1 thỏa mãn.
Với n > 1, ta có:
a^4 + 4b^4
= a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - 4a^2b^2
= (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2
= (a^2 + 2b^2 - 2ab)(a^2 + 2b^2 + 2ab)
= (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2).
Do đó:
a^4 + 4b^4 = (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2).
Chọn a = n, b = 1, ta được:
n^4 + 4
= n^4 + 4 . 1^4
= (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2).
Vì n > 1 nên:
n^2 - 2n + 2 = (n - 1)^2 + 1 > 1,
và
n^2 + 2n + 2 = (n + 1)^2 + 1 > 1.
Do đó n^4 + 4 là tích của hai số nguyên lớn hơn 1, nên n^4 + 4 là hợp số.
Vậy giá trị duy nhất của n để n^4 + 4 là số nguyên tố là:
n = 1.
Em tham khảo
1
Ta có
n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)
Đây là hằng đẳng thức Sophie Germain.
Nếu n > 1 thì
n^2 - 2n + 2 = (n - 1)^2 + 1 > 1
và
n^2 + 2n + 2 > 1
Do đó n^4 + 4 là tích của hai số lớn hơn 1 nên là hợp số.
Xét n = 1:
A = 1^4 + 4 = 5 là số nguyên tố.
Xét n = 0:
A = 0^4 + 4 = 4 không là số nguyên tố.
Vậy số tự nhiên duy nhất thỏa mãn là n = 1.