Cho nhọn \(\Delta ABC\) (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và (O) lần lượt tạI F và K (\(K\ne A\)) . Gọi L là hình chiếu của D trên AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và \(BD^2=BL.BA\)

b) Gọi J là giao điểm của KD và (O), (\(J\ne K\)). Chứng minh \(\widehat{BJK}=\widehat{BDE}\)

c) Gọi I là giao điểm của BJ và ED. Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm của ED.

Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp (O; R) với đường kính AD. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\). Các đường thẳng AI và DI cắt (O) lần lượt tại H và K. Kẻ \(IJ\perp BC\) tại J, \(IQ\perp AB\) tại Q. Kẻ đường kính HP của (O).

a, Chứng minh: H, K, J thẳng hàng

b, Gọi M là giao điểm của PH và BC. Đường thẳng MI cắt đường cao AE của \(\Delta ABC\) tại F. Chứng minh rằng: AF = IQ

Cho (O) ngoại tiếp △ABC (AB < AC). Gọi I là trung điểm BC. AI ∩ (O) = {J}, J ≠ A. Đường tròn ngoại tiếp △IBJ cắt AB tại M ≠ B và đường tròn ngoại tiếp △ICJ cắt AC tại N ≠ C

a, Chứng minh \(\widehat{BJM}=\widehat{CJN}\) và M, I, N thẳng hàng

b, JA là phân giác \(\widehat{BJN}\) và OA ⊥ MN

c, Tia phân giác \(\widehat{BAC}\) cắt MN tại E. Tia phân giác \(\widehat{BME}\) và \(\widehat{CNE}\) cắt BE, CE tại P, Q. Chứng minh PB . QE = PE . QC

Tam giác ABC có \(\widehat{A}\)=60. AC=b AB=c. Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) vuông góc BC tại M. Gọi I và J là chân đường vuông góc từ E đến AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc từ F đến AB và AC.

a) Chứng minh AIEJ và CMJE nội tiếp.

b) I,J,M thẳng hàng và IJ⊥HK

c) Tính BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) theo b,c

d) Tính IH+IK theo b,c