Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác ADME có
góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ
=>ADME là hình chữ nhật
ΔMDB vuông tại D có DI là trung tuyến
nên DI=MI=BI
ΔMEC vuông tại E có EK là trung tuyến
nên KC=KM=KE
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MD//AC
=>D là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AB
=>E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình
=>DE//BC và DE=BC/2
KI=KM+MI
=1/2(MC+MB)
=1/2BC
=DE
Xét tứ giác DIKE có
DE//KI
DE=KI
=>DIKE là hình bình hành
b: DIKE là hình chữ nhật
=>góc DIK=90 độ
=>DI vuông góc MB
Xét ΔDMB có
DI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
=>ΔDMB cân tại D
mà ΔDMB vuông cân tại D
nên góc B=45 độ
a: Ta có: MD⊥AB
AC⊥BA
Do đó: MD//AC
Ta có: ME⊥AC
AB⊥CA
Do đó: ME//AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của CB
ME//AB
Do đó; E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MD//AC
Do đó: D là trung điểm của AB
Xét ΔMAB có
D,I lần lượt là trung điểm của BA,BM
=>DI là đường trung bình của ΔMAB
=>DI//AM và \(DI=\frac{AM}{2}\)
Xét ΔCMA có
E,K lần lượt là trung điểm của CA,CM
=>EK là đường trung bình của ΔMAC
=>EK//AM và \(EK=\frac{AM}{2}\)
ta có: DI//AM
EK//AM
Do đó: DI//EK
ta có: \(DI=\frac{AM}{2}\)
\(EK=\frac{AM}{2}\)
Do đó: DI=EK
Xét tứ giác DIKE có
DI//KE
DI=KE
Do đó: DIKE là hình bình hành
b: Để DIKE là hình chữ nhật thì EK⊥KI
=>EK⊥CM tại K
Xét ΔCEM có
EK là đường trung tuyến
EK là đường cao
Do đó: ΔCEM cân tại E
=>ΔECM vuông cân tại E
=>\(\hat{ECM}=\hat{ACB}=45^0\)
Xét tứ giác ADHE có :
\(\widehat{A}\)=\(\widehat{B}\)=\(\widehat{C}\)=\(\widehat{D}\)(Vì cùng =90\(^{0^{ }}\))
=) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
=) AH=DE (tính chất 2 đường chéo bằng nhau)
Bài 1:
A B C D M N P Q E F
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
Ta có hình như sau:
Cần xét tứ giác DIKE.
A. Chứng minh tứ giác DIKE là hình gì?
Vì ΔABC vuông tại A nên:
Do:
Đặt hệ trục tọa độ:
⇒ M là trung điểm BC:
\(M \left(\right. b , c \left.\right)\)
Vì D là hình chiếu của M lên AB:
\(D \left(\right. b , 0 \left.\right)\)
Vì E là hình chiếu của M lên AC:
\(E \left(\right. 0 , c \left.\right)\)
I là trung điểm MB:
\(I \left(\right. \frac{b + 2 b}{2} , \frac{c + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\)
K là trung điểm MC:
\(K \left(\right. \frac{b + 0}{2} , \frac{c + 2 c}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{3 c}{2} \left.\right)\)
Xét các vectơ:
\(\overset{⃗}{D I} = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\) \(\overset{⃗}{E K} = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\)
⇒ \(D I \parallel E K\)
Tiếp:
\(\overset{⃗}{D E} = \left(\right. - b , c \left.\right)\) \(\overset{⃗}{I K} = \left(\right. - b , c \left.\right)\)
⇒ \(D E \parallel I K\)
Vậy tứ giác DIKE có hai cặp cạnh đối song song.
⇒ DIKE là hình bình hành.
B. Điều kiện để DIKE là hình chữ nhật
Hình bình hành là hình chữ nhật khi có hai đường chéo bằng nhau hoặc một góc vuông.
Xét:
\(\overset{⃗}{D I} \cdot \overset{⃗}{D E} = \frac{b}{2} \left(\right. - b \left.\right) + \frac{c}{2} \left(\right. c \left.\right) = \frac{c^{2} - b^{2}}{2}\)
Để góc D vuông:
\(\overset{⃗}{D I} \bot \overset{⃗}{D E}\) \(\frac{c^{2} - b^{2}}{2} = 0\) \(b = c\)
Mà:
\(A B = 2 b , A C = 2 c\)
⇒
\(A B = A C\)
Nghĩa là tam giác ABC phải vuông cân tại A.
Kết luận:
a) Tứ giác DIKE là hình bình hành.
b) Để DIKE là hình chữ nhật thì cần thêm điều kiện:
\(\boxed{A B = A C}\)
hay tam giác ABC vuông cân tại A.
ta có AC và DM cùng ⊥AB
=> DM//AC
mà M là trung điểm BC
=> D là trung điểm AB
Xét tam giác BAM ta có:
D là trung điểm AB
DI//AM
I là trung điểm BM
=> DI là đường trung bình của tam giác BAM
=> DI//AM và \(DI=\frac12AM\)
CMTT với tam giác CAM:=> \(EK=\frac12AM\) và EK//AM
từ hai điều trên
=> DI//EK và DI=EK
=> tứ giác DEKI là hình bình hành
b)
để DIKE là hình chữ nhật
=> góc DIK=90 độ
mà DI//AM
=> AM⊥BC
mà AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao
=> tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A
a: Gọi O là giao điểm của AM và DE
Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADME là hình chữ nhật
=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AM và DE
ADME là hình chữ nhật
=>AM=DE
mà \(OA=OM=\frac{AM}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)
nên OA=OM=OD=OE
ΔMDB vuông tại D
mà DI là đường trung tuyến
nên DI=IM=IB=MB/2
ΔMEC vuông tại E
mà EK là đường trung tuyến
nên KE=KM=KC
Xét ΔOMI và ΔODI có
OM=OD
MI=DI
OI chung
Do đó: ΔOMI=ΔODI
=>\(\hat{OMI}=\hat{ODI}\)
Xét ΔKEO và ΔKMO có
KE=KM
OE=OM
KO chung
Do đó: ΔKEO=ΔKMO
=>\(\hat{KEO}=\hat{KMO}\)
\(\hat{KED}+\hat{IDE}=\hat{OMI}+\hat{OMK}=180^0\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía
nên EK//DI
Ta có: \(EK=\frac{MC}{2}\)
\(DI=\frac{MB}{2}\)
mà MB=MC
nên EK=DI
Xét tứ giác EDIK có
EK//DI
EK=DI
Do đó: EDIK là hình bình hành
b: Hình bình hành EDIK trở thành hình chữ nhật khi DI⊥IK
=>DI⊥BC
=>DI⊥MB
Xét ΔMDB có
DI là đường cao
DI là đường trung tuyến
Do đó: ΔMDB vuông cân tại D
=>\(\hat{ABC}=45^0\)