Câu hỏi của Trần Minh Hoàng Nam

Question

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên tia đối của tia CD lấy điểm N và E là hình chiếu vuông góc của C lên BN. Chứng minh rằng AN, BC, OE đồng quy.

Mình nghĩ phải dùng Ceva ho...

Quoc Tran Anh Le · Accepted Answer

Đặt hình vuông ABCD có A(0;1), B(1;1), C(1;0), D(0;0), O(1/2;1/2), N(t;0), t > 1
Đường thẳng AN cắt BC tại P
AN qua A(0;1), N(t;0) nên y = 1 - x/t
Với x = 1 thì P(1;1 - 1/t)
Đường thẳng BN có hệ số góc (0 - 1)/(t - 1) = -1/(t - 1)
CE vuông góc BN nên CE có hệ số góc t - 1
E thuộc BN và CE, giải ra được E((2t - 1)/t; (t - 1)/t)
Ta có O(1/2;1/2), P(1;1 - 1/t)
Hệ số góc OP = (1 - 1/t - 1/2)/(1 - 1/2) = 1 - 2/t
Hệ số góc OE = ((t - 1)/t - 1/2)/((2t - 1)/t - 1/2) = 1 - 2/t
Vậy O, E, P thẳng hàng, mà P thuộc AN và P thuộc BC, suy ra AN, BC, OE đồng quy tại P.
Có thể dùng Ceva hoặc Menelaus nhưng cách tọa độ ngắn hơn, vì bài có hình vuông và vuông góc nên tính hệ số góc rất thuận tiện.

Câu trả lời:

Đặt hình vuông ABCD có A(0;1), B(1;1), C(1;0), D(0;0), O(1/2;1/2), N(t;0), t > 1
Đường thẳng AN cắt BC tại P
AN qua A(0;1), N(t;0) nên y = 1 - x/t
Với x = 1 thì P(1;1 - 1/t)
Đường thẳng BN có hệ số góc (0 - 1)/(t - 1) = -1/(t - 1)
CE vuông góc BN nên CE có hệ số góc t - 1
E thuộc BN và CE, giải ra được E((2t - 1)/t; (t - 1)/t)
Ta có O(1/2;1/2), P(1;1 - 1/t)
Hệ số góc OP = (1 - 1/t - 1/2)/(1 - 1/2) = 1 - 2/t
Hệ số góc OE = ((t - 1)/t - 1/2)/((2t - 1)/t - 1/2) = 1 - 2/t
Vậy O, E, P thẳng hàng, mà P thuộc AN và P thuộc BC, suy ra AN, BC, OE đồng quy tại P.
Có thể dùng Ceva hoặc Menelaus nhưng cách tọa độ ngắn hơn, vì bài có hình vuông và vuông góc nên tính hệ số góc rất thuận tiện.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP