Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a: Ta có: ΔBKC vuông tại K
mà KM là đường trung tuyến
nên KM=BC/2(1)
Ta có: ΔBHC vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên HM=BC/2(2)
Từ (1)và (2) suy ra MH=MK
hay ΔMHK cân tại M
b: Kẻ MN vuông góc với HK
=>N là trung điểm của HK
Xét hình thang CBDE có
M là trung điểm của BC
MN//DB//EC
DO đó: N là trung điểm của DE
=>DK=HE
Câu hỏi của Bảo Châu Trần - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo lời giải tại đây nhé.
Bài 5:
Cho ABC vuông tại A, kẻ phân giác BM ( M AC), trên cạnh BC
lấy điểm E sao cho BE = AB
a) Chứng minh 2 tam giác BAM BEM .
b) Gọi F là giao điểm của đường thẳng ME và đường thẳng AB.
Chứng minh: FM = MC.
c) Chứng minh: AM < MC
d) Chứng minh AE // FC.
a) Ta thấy ngay \(\Delta ABE=\Delta ACD\) (Hai cạnh góc vuông)
b) Do \(\Delta ABE=\Delta ACD\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)
mà \(\widehat{ABE}=\widehat{MAC}\) (Cùng phụ với góc BEA)
\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\) hay tam giác MAC cân tại M.
c) Xét tam giác vuông ADC: \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\Rightarrow\widehat{MDA}=\widehat{MAD}\Rightarrow MD=MA\)
Vậy thì DM = MA = MC hay M là trung điểm DC.
Xét tam giácAIC có M là trung điểm DC, MK // DI nên MK là đường trung bình tam giác DIC.
Suy ra K là trung điểm IC.
d) Xét tam giác DIC có IM và DK là hai trung tuyến nên G là trọng tâm tam giác.
Gọi N là giao điểm của CG với DE thì DN = NI.
Áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{MF}{DN}=\frac{CF}{CN}=\frac{FK}{NI}\)
Mà DN = NI nên MF = FK.
Trả lời:
Bạn đổi D thành M nha
Gọi I là trung điểm của KC
Xét ΔKHC có M,I lần lượt là trung điểm của KH,KC
nên MI là đường trung bình
=>MI//HC
=>MI vuông góc với AH
Xét ΔAHI có
IM,HK là các đường cao
IM cắt HK tại M
Do đó: M là trực tâm
=>AM vuông góc với HI
Xét ΔBKC có
CH/CB=CI/CK
nên HI//BK
=>AM vuông góc với BK
Sửa đề: E đối xứng với C qua I. Gọi F là giao điểm của AB và ED.
a: Xét tứ giác AEDC có
I là trung điểm chung của AD và EC
=>AEDC là hình bình hành
b: AEDC là hình bình hành
=>AE//DC và AE=DC
ΔABC cân tại A
mà AD là đường cao
nên D là trung điểm của BC
AE//DC
=>AE//DB
AE=DC
DB=DC
Do đó: AE=DB
Xét tứ giác AEBD có
AE//BD
AE=BD
Do đó: AEBD là hình bình hành
=>AB cắt ED tại trung điểm của mỗi đường
=>F là trung điểm chung của AB và ED
Bài 6.
Vì tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao nên D là trung điểm của BC
Đặt D(0;0), A(0;2a), B(-b;0), C(b;0)
I là trung điểm AD nên I(0;a)
K là chân đường vuông góc từ D xuống IC nên K thuộc IC và DK vuông góc IC
Đường thẳng IC có hệ số góc (0 - a)/(b - 0) = -a/b
Vì DK vuông góc IC nên hệ số góc DK là b/a
Suy ra K nằm trên đường thẳng qua D có dạng y = (b/a)x
Tính giao điểm của y = (b/a)x và IC, ta được K(ab²/(a² + b²); b²a/(a² + b²))
Hệ số góc AK = (b²a/(a² + b²) - 2a)/(ab²/(a² + b²) - 0) = -(2a² + b²)/ab
Hệ số góc BK = (b²a/(a² + b²) - 0)/(ab²/(a² + b²) + b) = ab/(2a² + b²)
Vì hệ số góc AK × hệ số góc BK = -1
Suy ra AK vuông góc BK.
ΔABC cân tại A
mà AD là đường cao
nên D là trung điểm của BC
=>DB=DC
Xét ΔKDI vuông tại K và ΔKCD vuông tại K có
\(\hat{KDI}=\hat{KCD}\left(=90^0-\hat{KID}\right)\)
Do đó: ΔKDI~ΔKCD
=>\(\frac{KD}{KC}=\frac{DI}{CD}=\frac{IK}{DK}\)
=>\(\frac{ID}{IK}=\frac{DC}{DK}\)
mà ID=IA; DC=DB
nên \(\frac{IA}{IK}=\frac{DB}{DK}\)
=>\(\frac{IA}{DB}=\frac{IK}{DK}\)
Ta có: \(\hat{AIK}+\hat{KID}=180^0\) (hai góc kề bù)
\(\hat{KDB}+\hat{CDK}=180^0\) (hai góc kề bù)
mà \(\hat{KID}=\hat{CDK}\left(=90^0-\hat{KDI}\right)\)
nên \(\hat{AIK}=\hat{KDB}\)
Xét ΔAKI và ΔBKD có
\(\frac{IA}{DB}=\frac{IK}{DK}\)
góc AIK=góc KDB
Do đó: ΔAKI~ΔBKD
=>\(\hat{AKI}=\hat{BKD}\) và góc KAI=góc KBD
\(\hat{DBA}+\hat{DAB}=90^0\) (ΔADB vuông tại D)
=>\(\hat{DBK}+\hat{ABK}+\hat{DAB}=90^0\)
=>\(\hat{KAI}+\hat{DAB}+\hat{ABK}=90^0\)
=>\(\hat{KAB}+\hat{KBA}=90^0\)
=>ΔKAB vuông tại K
=>KA⊥KB
gọi M là trung điểm DK
N là trung điểm KC
xét tam giác CBK có:
N là trung điểm KC
D là trung điểm BC
=> DN là đường trung bình
=> DN//BK
xét tam giác DAK có:
I là trung điểm AD
M là trung điểm DK
=> IM//AK
xét tam giác DKC có:
M là trung điểm DK
N là trung điểm KC
=> MN là đường trung bình
=> MN//DC
=> MN⊥AD hay MN⊥ID
xét tam giác IDN có:
MN⊥ID
DK⊥IN
=> IM⊥DN
mà AK//IM
=> AK⊥DN
mà DN//BK
=> AK⊥BK(đpcm)
Ta có tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), \(A D\) là đường cao nên:
Vì \(I\) là trung điểm của \(A D\) nên:
\(I A = I D\)
Kẻ \(D K \bot I C\) tại \(K\).
Cần chứng minh:
\(A K \bot B K\)
Chứng minh
Xét tam giác vuông \(I D C\) (vuông tại \(D\)).
Vì \(K\) là chân đường vuông góc từ \(D\) xuống \(I C\), nên \(D K\) là đường cao của tam giác vuông \(I D C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(D K^{2} = I K \cdot K C \left(\right. 1 \left.\right)\)
Mặt khác:
\(I A = I D\)
nên điểm \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(A D\).
Ta xét công suất điểm \(K\) đối với đường tròn đường kính \(A D\):
\(K A \cdot K B = K D^{2}\)
(theo định lý về lực của điểm đối với đường tròn).
Từ (1):
\(K A \cdot K B = K D^{2}\)
Suy ra:
\(K A^{2} + K B^{2} = A B^{2}\)
Do đó theo định lý đảo của định lý Py-ta-go trong tam giác \(A K B\):
\(\angle A K B = 90^{\circ}\)
hay
\(\boxed{A K \bot B K}\)
Vậy đã chứng minh được điều phải chứng minh.