Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm có sử dụng các bổ đề: số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1. Số chính phương chia 5 dư 0, 1 hoặc 4. Số chính phương chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì phải chia hết cho p².
~~~~~~~~~
a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3.
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí)
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 (*)
b) - Nếu a, b cùng chẵn => ab chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
- Nếu a, b cùng lẻ => a = 2t + 1; b = 2k + 1 (t; k thuộc N)
=> a² + b² = (2t +1)² + (2k + 1)² = 4t² + 4t + 4k² + 4k + 2 = 4(t² + t + k² + k) + 2 => a² + b² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 => c² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí)
Vậy trường hợp a, b cùng lẻ không xảy ra.
- Nếu a lẻ, b chẵn => c lẻ. Đặt a = 2m + 1; b = 2n; c= 2p + 1. (m, n, p thuộc N).
=> a² + b² = c²
<=> (2m + 1)² + (2n)² = (2p + 1)²
<=> 4m² + 4m + 1 + 4n² = 4p² + 4p + 1
<=> n² = p² + p - m² - m
<=> n² = p(p + 1) - m(m + 1).
p(p + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => p(p + 1) chia hết cho 2. Cmtt => m(m + 1) chia hết cho 2 => p(p + 1) - m(m + 1) chia hết cho 2 => n² chia hết cho 2 => n chia hết cho 2 => b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
- Nếu a chẵn, b lẻ. Cmtt => a chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
Vậy abc chia hết cho 4 (**)
c) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5.
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4.
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí)
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5.
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5.
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí).
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5. (***)
Từ (*), (**), (***), mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau => abc chia hết cho 3.4.5 hay abc chia hết cho 60 => abc chia het cho 3
~~~~~~
Chúc bạn học giỏi!
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=m\Leftrightarrow m-\sqrt{a}=\sqrt{b}\Rightarrow m^2-2m\sqrt{a}+a=b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{m^2+a-b}{2m}\)là số hữu tỉ.
Tương tự cũng suy ra \(\sqrt{b}\)là số hữu tỉ.
Cho 2 số tự nhiên a,b thoả mãn \(a^2+a=2b^2+b\). Cmr : \(a-b\)và \(a+b+1\)đều là các số chính phương
Câu hỏi của Nguyễn Triệu Yến Nhi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Đặt biểu thức trên là A
-Trường hợp a chia hết b:
Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab
Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a
=> a=b
=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2
-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:
A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2
Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab
Mà a,b nguyên nên: a<b(a+1) <=> a−b<ab
Mà a-b chia hết ab => a−b≥ab
=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.
Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*
Đặt biểu thức trên là A
-Trường hợp a chia hết b:
Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab
Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a
=> a=b
=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2
-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:
A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2
Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab
Mà a,b nguyên nên: a<b(a+1) <=> a−b<ab
Mà a-b chia hết ab => a−b≥ab
=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.
Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
1) Gọi hai số cần tìm là a2 và b2(a,b lớn hơn hoặc bằng 2)
Vì a2+ b2= 2234 là số chẵn -> a, b cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Mà chỉ có một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 -> hai số đó cùng lẻ
a2+ b2 = 2234 không chia hết cho 5
Giả sử cả a2, b2 đều không chia hết cho 5
-> a2,b2 chia 5 dư 1,4 ( vì là số chính phương)
Mà a2+ b2 = 2234 chia 5 dư 4 nên o có TH nào thỏa mãn -> Giả sử sai
Giả sử a=5 -> a2= 25
b2= 2209
b2= 472
-> b=47
Vậy hai số cần tìm là 5 và 47
- Vì \(d_1 = (a, b)\) nên \(d_1 \mid a\) và \(d_1 \mid b\).
- Do đó, \(d_{1}\) cũng chia hết cho mọi tổ hợp tuyến tính của \(a\) và \(b\):
- \(d_1 \mid (ma + nb)\)
- \(d_1 \mid (pa + qb)\)
- Vì \(d_{1}\) là ước chung của \((ma + nb)\) và \((pa + qb)\) nên theo định nghĩa ước chung lớn nhất:
Bước 2: Chứng minh \(d_2 \mid d_1\)\(d_{1}\mid d_{2}\)
- Ta có hệ thức:
- \(X = ma + nb\)
- \(Y = pa + qb\)
- Để tìm \(a, b\) theo \(X, Y\), ta giải hệ phương trình bằng phương pháp khử:
- Nhân (1) với \(q\) và (2) với \(n\):
- Nhân (1) with \(p\) và (2) với \(m\):
- Theo giả thiết \(\vert{}pm - qn\vert{} = 1\) (tương đương \(\vert{}mq - np\vert{} = 1\)), ta có:
- \(a = \pm(qX - nY)\)
- \(b = \pm(mY - pX)\)
- Vì \(d_2 = (X, Y)\) nên \(d_2 \mid X\) và \(d_2 \mid Y\). Từ hai biểu thức trên, ta thấy \(d_2 \mid a\) và \(d_2 \mid b\).
- Suy ra \(d_{2}\) là ước chung của \(a\) và \(b\), do đó:
Kết luận:\(qX = mqa + nqb\)
\(nY = npa + nqb\)
\(\Rightarrow qX - nY = (mq - np)a\)
\(pX = mpa + npb\)
\(mY = mpa + mqb\)
\(\Rightarrow mY - pX = (mq - np)b\)
\(d_{2}\mid d_{1}\)
Vì \(d_1 \mid d_2\) và \(d_2 \mid d_1\) (với \(d_1, d_2 > 0\)), ta có:
\((ma+nb,pa+qb)=(a,b)\)
Mệnh đề này chưa đúng với điều kiện đã cho.
Chọn m = 1, n = 0, p = 2, q = 2
Ta có |p.m - q.n| = |2.1 - 2.0| = 2 = q, thỏa mãn điều kiện
Chọn a = 2, b = 1
ma + nb = 1.2 + 0.1 = 2
pa + qb = 2.2 + 2.1 = 6
(ma + nb, pa + qb) = (2, 6) = 2
(a, b) = (2, 1) = 1
Vì 2 khác 1 nên kết luận sai, đề bài có thể bị nhầm điều kiện.