1. Gọi \(M\) là trung điểm của \(A C\) (vì \(B M\) là trung tuyến) và \(N\) là trung điểm của \(A B\) (vì \(C N\) là trung tuyến).

   Do \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(M\) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(B D\).

   Do \(E\) đối xứng với \(C\) qua \(N\) nên \(N\) cũng là trung điểm của \(C E\).

   ---

   a) Chứng minh \(A B C D\) và \(A C B E\) là các hình bình hành

   Chứng minh \(A B C D\) là hình bình hành

   Trong tứ giác \(A B C D\):

   • \(M\) là trung điểm của \(A C\);
   • \(M\) cũng là trung điểm của \(B D\).

   Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

   Suy ra \(A B C D\) là hình bình hành.

   ---

   Chứng minh \(A C B E\) là hình bình hành

   Trong tứ giác \(A C B E\):

   • \(N\) là trung điểm của \(A B\);
   • \(N\) là trung điểm của \(C E\).

   Hai đường chéo \(A B\) và \(C E\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

   Suy ra \(A C B E\) là hình bình hành.

   ---

   b) Điều kiện để \(A B C D\) là

   1. Hình chữ nhật

   Trong hình bình hành, hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đường chéo bằng nhau.

   Ở đây:

   • Đường chéo của \(A B C D\) là \(A C\) và \(B D\).

   Vì \(M\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\),

   \(B D = 2 B M .\)

   Mà

   \(B M = \backslash\text{f} r a c 12 \backslash\text{s} q r t 2 A B^{2} + 2 B C^{2} - A C^{2}\)

   (theo công thức trung tuyến).

   Do đó

   \(B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 B C^{2} - A C^{2} .\)

   Muốn \(A B C D\) là hình chữ nhật thì

   \(B D = A C .\)

   Suy ra

   \(2 A B^{2} + 2 B C^{2} - A C^{2} = A C^{2}\)

   hay

   \(A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} .\)

   Theo định lý đảo của định lý Pitago, tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\).

   Kết luận: \(A B C D\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\).

   ---

   2. Hình thoi

   Hình bình hành là hình thoi khi hai cạnh kề bằng nhau.

   Ta có

   \(A B = C D , \backslash\text{q} q u a d B C = A D .\)

   Vì vậy chỉ cần

   \(A B = B C .\)

   Tức là tam giác \(A B C\) cân tại \(B\).

   Kết luận: \(A B C D\) là hình thoi khi và chỉ khi tam giác \(A B C\) cân tại \(B\).

   ---

   3. Hình vuông

   Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

   Do đó cần đồng thời:

   • tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\);
   • tam giác \(A B C\) cân tại \(B\).

   Hay nói cách khác:

   Tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(B\).

   ---

   c) Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(D E\)

   Ta có

   \(\backslash\text{o} v e r r i g h t a r r o w M D = - \backslash\text{o} v e r r i g h t a r r o w M B , \backslash\text{q} q u a d \backslash\text{o} v e r r i g h t a r r o w N E = - \backslash\text{o} v e r r i g h t a r r o w N C .\)

   Mặt khác

   \(M = \backslash\text{f} r a c A + C 2 , \backslash\text{q} q u a d N = \backslash\text{f} r a c A + B 2.\)

   Suy ra

   \(D = 2 M - B = A + C - B ,\)

   và

   \(E = 2 N - C = A + B - C .\)

   Do đó

   \(\backslash\text{f} r a c D + E 2 = \backslash\text{f} r a c \left(\right. A + C - B \left.\right) + \left(\right. A + B - C \left.\right) 2 = \backslash\text{f} r a c 2 A 2 = A .\)

   Nghĩa là \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(D E\).

   ---

   Kết luận

   • a) \(A B C D\) và \(A C B E\) đều là hình bình hành.
   • b)
   • • \(A B C D\) là hình chữ nhật \(\backslash\text{L} e f t r i g h t a r r o w\) tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\).
     • \(A B C D\) là hình thoi \(\backslash\text{L} e f t r i g h t a r r o w\) tam giác \(A B C\) cân tại \(B\).
     • \(A B C D\) là hình vuông \(\backslash\text{L} e f t r i g h t a r r o w\) tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(B\).
   • c) \(A\) là trung điểm của đoạn \(D E\).

a)

• \(B M\) là trung tuyến \(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(A C\).
• \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(M\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(B D\).
• Hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại trung điểm \(\Rightarrow \boxed{A B C D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh} .}\)
• \(C N\) là trung tuyến \(\Rightarrow N\) là trung điểm của \(A B\).
• \(E\) đối xứng với \(C\) qua \(N\) \(\Rightarrow N\) là trung điểm của \(C E\).
• Hai đường chéo \(A B , C E\) cắt nhau tại trung điểm \(\Rightarrow \boxed{A C B E \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh} .}\)

b)

• \(A B C D\) là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow A C = B D\).
  Mà \(B D = 2 B M , \&\text{nbsp}; B M = \frac{A C}{2}\)
  \(\Rightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}\)
  \(\Rightarrow \boxed{\triangle A B C \&\text{nbsp}; \text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; B .}\)
• \(A B C D\) là hình thoi \(\Leftrightarrow A B = B C\)
  \(\Rightarrow \boxed{\triangle A B C \&\text{nbsp}; \text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; B .}\)
• \(A B C D\) là hình vuông
  \(\Leftrightarrow\) hình chữ nhật và hình thoi
  \(\Rightarrow \boxed{\triangle A B C \&\text{nbsp}; \text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; B .}\)

c)

Trong hình bình hành \(A B C D\):

\(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Trong hình bình hành \(A C B E\):

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{C B} = - \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Suy ra

\(\overset{\rightarrow}{A D} = - \overset{\rightarrow}{A E} .\)

\(\Rightarrow D , A , E\) thẳng hàng và \(A D = A E\).

Vậy \(\boxed{A \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; D E .}\) ∎

a) xét tứ giác ABCD có:

M là trung điểm AC

M là trung điểm BD

=> tứ giác ABCD là hình bình hành

xét tứ giác ACBE có:

N là trung điểm AB

N là trung điểm EC

=> tứ giác ACBE là hình bình hành

b) để ABCD là hình chữ nhật

=> góc ABC= 90 độ

=> tam giác ABC vuông tại B

để ABCD là hình thoi

=> BD⊥AC

Mà BM là trung tuyến

=> BM vừa là đường cao vừa đường trung tuyến

=> tam giác ABC cân tại B

để ABCD là hình vuông

=> AB=BC và ABC= 90 độ

=> tam giác ABC vuông cân tại B

c) ta có AD//BC và AE//BC

=> A,E,D thẳng hàng

mà AD=BC=AE

=> A là trung điểm DE

a: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

Xét tứ giác ACBE có

N là trung điểm chung của AB và CE

=>ACBE là hình bình hành

b: Hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật khi \(\hat{ABC}=90^0\)

Hình bình hành ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC

Hình bình hành ABCD trở thành hình vuông khi BA=BC và \(\hat{ABC}=90^0\)

c: ABCD là hình bình hành

=>AD//BC và AD=BC

AEBC là hình bình hành

=>AE//BC và AE=BC

AD//BC

AE//BC

mà AD,AE có điêm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

AD=BC

AE=BC

Do đó: AD=AE
=>A là trung điểm của DE

a) Vì BM là trung tuyến nên M là trung điểm của AC
D đối xứng với B qua M nên M là trung điểm của BD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm M
Vậy ABCD là hình bình hành
Vì CN là trung tuyến nên N là trung điểm của AB
E đối xứng với C qua N nên N là trung điểm của CE
Tứ giác ACBE có hai đường chéo AB và CE cắt nhau tại trung điểm N
Vậy ACBE là hình bình hành
b) ABCD là hình chữ nhật khi AB vuông góc BC, tức tam giác ABC vuông tại B
ABCD là hình thoi khi AB = BC, tức tam giác ABC cân tại B
ABCD là hình vuông khi AB = BC và AB vuông góc BC, tức tam giác ABC vuông cân tại B
c) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC
Vì ACBE là hình bình hành nên AE // CB và AE = CB
Suy ra D, A, E thẳng hàng và AD = AE
Vậy A là trung điểm của DE.