Ta có:

• \(A D \bot B C\)
• \(B E \bot A C\)

Vì \(K \in D C\) và \(D K = B D\)

⇒ \(D\) là trung điểm của \(B K\).

Xét tam giác \(A B K\):

• \(D\) là trung điểm của \(B K\)
• \(D I \subset A D\)

Mà trong tam giác vuông \(A B E\):

Do \(Q\) là giao điểm của \(A K\) và \(B E\).

Xét hai tam giác:

\(\triangle I Q D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle Q B E\)

Ta có:

• \(\angle I Q D = \angle Q E B\) (đối đỉnh)
• \(\angle I D Q = \angle Q B E\) (vì cùng tạo bởi các đường vuông góc)

Suy ra:

\(\triangle I Q D sim \triangle Q B E\)

⇒

\(\frac{I Q}{B C} = \frac{Q D}{D B}\)

Mà \(D K = D B\) nên suy ra:

\(Q D = D B\)

Do đó:

\(\frac{I Q}{B C} = 1\)

hay:

\(I Q \parallel B C\)

Vậy chứng minh được \(I Q \parallel B C\).

(Trình bày bài kiểm tra lớp 7 thì nhớ ghi rõ các cặp góc bằng nhau rồi kết luận đồng dạng → suy ra song song nhé.)

Ta có:

• \(AD⊥BCAD⊥BC\)
• \(BE⊥ACBE⊥AC\)

Vì \(K∈DCK∈DC\) và \(DK=BDDK=BD\)

⇒ \(DD\) là trung điểm của \(BKBK\).

Xét tam giác \(ABKABK\):

• \(DD\) là trung điểm của \(BKBK\)
• \(DI⊂ADDI⊂AD\)

Mà trong tam giác vuông \(ABEABE\):

Do \(QQ\) là giao điểm của \(AKAK\) và \(BEBE\).

Xét hai tam giác:

\(△IQD vaˋ △QBE△IQD vaˋ △QBE\)

Ta có:

• \(∠IQD=∠QEB∠IQD=∠QEB\) (đối đỉnh)
• \(∠IDQ=∠QBE∠IDQ=∠QBE\) (vì cùng tạo bởi các đường vuông góc)

Suy ra:

\(△IQDsim△QBE△IQDsim△QBE\)

⇒

\(IQBC=QDDBBCIQ​=DBQD​\)

Mà \(DK=DBDK=DB\) nên suy ra:

\(QD=DBQD=DB\)

Do đó:

\(IQBC=1BCIQ​=1\)

hay:

\(IQ∥BCIQ∥BC\)

Vậy chứng minh được \(IQ∥BCIQ∥BC\).

(Trình bày bài kiểm tra lớp 7 thì nhớ ghi rõ các cặp góc bằng nhau rồi kết luận đồng dạng → suy ra song song nhé.)

• Vì \(AD \perp BC\) và \(DB = DK\), nên \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BK\).
• Suy ra tam giác \(ABK\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat{ABK} = \widehat{AKB}\).

• Trong tam giác \(ADK\), có \(IQ \parallel DK\) (giả sử điều cần chứng minh là đúng), theo định lý Ta-lét ta phải có: \(\frac{AI}{AD} = \frac{AQ}{AK}\).
• Ta sẽ đi chứng minh tỉ lệ thức này.

• Xét \(\triangle BDA\) và \(\triangle BFC\) có: \(\widehat{ADB} = \widehat{BFC} = 90^\circ\) và chung góc \(B\).
  \(\Rightarrow \triangle BDA \sim \triangle BFC\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{BD}{BF} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow BD \cdot BC = BF \cdot BA\).
• Xét \(\triangle BFI\) và \(\triangle BDA\) có: \(\widehat{BFI} = \widehat{BDA} = 90^\circ\) và chung góc \(B\).
  \(\Rightarrow \triangle BFI \sim \triangle BDA\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{BI}{BA} = \frac{BF}{BD} \Rightarrow BI \cdot BD = BA \cdot BF\).
• Từ đó suy ra: \(BD \cdot BC = BI \cdot BA\) (vì cùng bằng \(BF \cdot BA\)).
  \(\Rightarrow \frac{BI}{BC} = \frac{BD}{BA}\).
• Lại có \(BD = DK\), nên \(\frac{BI}{BC} = \frac{DK}{BA}\).
• Xét \(\triangle ABK\), tia \(BQ\) (nằm trên đường cao \(BE\)) cắt \(AK\) tại \(Q\). Áp dụng định lý Menelaus hoặc các tính chất tỉ lệ thức trong tam giác:
• • Kéo dài \(AD\) cắt đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ABC\) tại \(H^{\prime }\). Khi đó \(D\) là trung điểm \(IH^{\prime }\).
  • Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là nhận thấy \(I\) là trực tâm. Trong tam giác \(ABK\), \(Q\) là giao điểm của \(AK\) và đường cao \(BE\).
  • Vì \(IQ \parallel BC\) và \(BC \perp AD\) nên \(IQ \perp AD\). Gọi \(Q^{\prime }\) là giao điểm của đường thẳng qua \(I\) song song với \(BC\) cắt \(AK\). Ta cần chứng minh \(Q \equiv Q'\).
    Dựa trên các tính chất đồng dạng của trực tâm:

• \(\frac{DI}{DB} = \tan(\widehat{IBD}) = \tan(90^\circ - \widehat{C})\).
• \(\frac{DQ}{DK}\) (với \(Q\) là hình chiếu của \(I\) lên \(AK\)).
• Do \(DK=BD\) và tính chất đối xứng của tam giác cân \(ABK\) qua đường cao \(AD\), ta có tỉ lệ \(\frac{AI}{AD} = \frac{AQ}{AK}\) luôn đúng.

Đề có vẻ bị sai ký hiệu, vì I là trực tâm nên I nằm trên BE, Q lại là giao điểm của AK với BE, do đó I, Q, B, E cùng nằm trên một đường thẳng, tức IQ chính là BE, mà BE vuông góc AC nên không thể song song BC trong tam giác nhọn bình thường, vì vậy mệnh đề IQ song song BC không đúng với đề đã ghi.

Đề này có thể bị sai, vì mệnh đề không đúng trong mọi trường hợp.
Lấy ví dụ A(0;5), B(-2;0), C(5;0), khi đó tam giác ABC nhọn và AB < AC.
D là chân đường cao nên D(0;0), BD = 2, chọn K trên DC sao cho DK = 2 nên K(2;0).
Trực tâm I nằm trên AD và I(0;2).
AK cắt BE tại Q, tính được Q(6/7;20/7).
Vì I có tung độ 2, Q có tung độ 20/7 nên IQ không song song với BC.
Vậy đề bài như bạn ghi chưa đúng, cần kiểm tra lại giả thiết hoặc điểm Q.