a) Chứng minh \(A B C D\) là hình chữ nhật

• \(M\) là trung điểm của \(B C\) (gt).
• \(M D = M A \Rightarrow M\) là trung điểm của \(A D\).
• Hai đường chéo \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) \(\Rightarrow A B C D\) là hình bình hành.
• \(\angle A = \angle B A C = 90^{\circ}\).

\(\Rightarrow A B C D\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(B E D C\) là hình bình hành

• \(B\) là trung điểm của \(A E\) \(\Rightarrow A B = B E , \&\text{nbsp}; A , B , E\) thẳng hàng.
• \(A B C D\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow A B \parallel C D , \&\text{nbsp}; A B = C D\).
• Suy ra \(B E \parallel C D , \&\text{nbsp}; B E = C D\).

\(\Rightarrow B E D C\) là hình bình hành.

c) Chứng minh \(E K = 2 K M\)

Đặt:

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. b , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , c \left.\right) .\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\):

\(M \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) .\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\):

\(D \left(\right. b , c \left.\right) .\)

Vì \(B\) là trung điểm của \(A E\):

\(E \left(\right. 2 b , 0 \left.\right) .\)

Gọi \(K = E M \cap B D\).

\(E M : \&\text{nbsp}; \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 b - \frac{3 b}{2} t , \frac{c}{2} t \left.\right) ,\) \(B D : \&\text{nbsp}; \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. b , c s \left.\right) .\)

Tại \(K\):

\(2 b - \frac{3 b}{2} t = b \Rightarrow t = \frac{2}{3} .\)

Suy ra:

\(E K = \frac{2}{3} E M , K M = \frac{1}{3} E M .\)

Vậy

\(\boxed{E K = 2 K M} .\)

a) $ABCD$ là hình chữ nhật

• Tứ giác $ABCD$ có 2 đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ mỗi đường $\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.
• Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{A} = 90^\circ$ $\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.

b) $BEDC$ là hình bình hành

• Vì $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
• Mà $B$ là trung điểm $AE$ $\Rightarrow BE \parallel CD$ và $BE = CD$ (vì cùng bằng $AB$).
• Tứ giác $BEDC$ có cặp cạnh đối $BE$ và $CD$ vừa song song vừa bằng nhau $\Rightarrow BEDC$ là hình bình hành.

c) Chứng minh $EK = 2KM$

• Xét $\triangle EDC$:
• • $CM$ là trung tuyến (vì $M$ là trung điểm $ED$ do $BEDC$ là hình bình hành).
  • $DB$ là trung tuyến (vì đường chéo $DB$ đi qua trung điểm cạnh $EC$).
• Mà $EM$ cắt $BD$ tại $K$ $\Rightarrow K$ là trọng tâm $\triangle EDC$.
• Theo tính chất trọng tâm: $EK = \frac{2}{3}EM$ và $KM = \frac{1}{3}EM$ $\Rightarrow EK = 2KM$.

a) xét tứ giác ACDB có:

ta có M là trung điểm AD

M là trung điểm BC

=> tứ giác ACDB là hình bình hành

mà góc BAC= 90 độ

=> tứ giác ACDB là hình chữ nhật

b) từ câu a) => CD=AB và CD//AB

vì E ∈ AB và B là trung điểm AE=> AB=BE

từ hai điều trên ta có: CD//BE và CD=BE

=> tứ giác BEDC là hình bình hành

c) xét tam giác AED có:

DB là trung tuyến

EM là trung tuyến

=> K là giao của hai đường trung tuyến

mà theo tính chất dc học thì => EK= \(\frac23EM\) và \(KM=\frac13EM\)

=> \(\frac{EK}{KM}=\frac{\frac23EM}{\frac13EM}=\frac{2}{\frac{3}{\frac13}}=\frac23:\frac13=\frac23\cdot\frac31=2\)

=> \(EK=2KM\) (đpcm)

s k lên chat gpt hỏi cho nhanh

a, Ta có M là trung điểm của BC, MD = MA và D thuộc tia đối của MA nên M là trung điểm của AD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M nên ABCD là hình bình hành
Lại có góc A = 90° nên ABCD là hình chữ nhật
b, Đặt A(0;0), B(b;0), C(0;c) với b < c
Vì M là trung điểm BC nên M(b/2;c/2), vì M là trung điểm AD nên D(b;c)
Vì B là trung điểm AE nên E(2b;0)
Ta có BE song song DC, ED song song BC nên BEDC là hình bình hành
c, Đường EM có dạng K = E + t(M - E)
K = (2b;0) + t(-3b/2;c/2)
Vì K thuộc BD nên hoành độ K bằng b
2b - 3bt/2 = b
3t/2 = 1
t = 2/3
Suy ra EK/KM = t/(1 - t) = (2/3)/(1/3) = 2
Vậy EK = 2KM, vì K chia đoạn EM theo tỉ lệ 2 : 1 kể từ E đến M.

a) Vì MD = MA nên M là trung điểm của AD
M cũng là trung điểm của BC
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M nên ABCD là hình bình hành
Lại có góc A = 90 độ nên ABCD là hình chữ nhật
b) Vì B là trung điểm của AE nên A, B, E thẳng hàng và AB = BE
Từ câu a, ABCD là hình chữ nhật nên AB song song DC và AB = DC
Suy ra BE song song DC và BE = DC
Vậy BEDC là hình bình hành, vì có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
c) Đặt A(0;0), B(b;0), C(0;c), với b < c
M là trung điểm BC nên M(b/2;c/2)
Vì M là trung điểm AD nên D(b;c)
Vì B là trung điểm AE nên E(2b;0)
Gọi K thuộc EM, đặt K = E + t(M - E)
K(2b - 3bt/2; ct/2)
K cũng thuộc BD nên hoành độ của K bằng b
2b - 3bt/2 = b
3t/2 = 1
t = 2/3
Suy ra EK = 2/3 EM, KM = 1/3 EM
Vậy EK = 2KM.