Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn tham khảo dạng ở link này nhé:
https://diendantoanhoc.net/topic/88451-tren-b%E1%BA%A3ng-cac-s%E1%BB%91-t%E1%BB%B1-nhien-t%E1%BB%AB-1-d%E1%BA%BFn-2012-ng%C6%B0%E1%BB%9Di-ta-lam-nh%C6%B0-sau-l%E1%BA%A5y-ra-2-s%E1%BB%91-b%E1%BA%A5t-ki-thay-b%E1%BA%B1ng-hi%E1%BB%87u-c%E1%BB%A7a-chung-c%E1%BB%A9-lam-nh%C6%B0-v%E1%BA%ADy-d/
Giải:
+) Cứ mỗi bước xóa 2 số thêm 1 số nghĩa là sẽ mất đi một số. Thực hiện 2019 lần theo quy tắc trên thì sẽ còn lại duy nhất 1 số
+) Dễ thấy trong 2020 phân số trên có số 1010/2020 = 1/2
+) Khi các em xóa đến một số bất kì x khác 1/2 thuộc dãy 2020 phân số đó và số 1/2 thì số mới xuất hiện sẽ là: 1/2 + x - 2.1/2 .x = 1/2
Như vậy các e xóa đủ 2019 lần thì vẫn chỉ còn số 1/2
Ta gọi phép thay thế hai số \(a , b\) thành \(a + b - 2 a b\) là một phép toán \(\star\). Xét biểu thức:
\(a \star b = a + b - 2 a b\)
Ta biến đổi:
\(1 - \left(\right. a \star b \left.\right) = 1 - a - b + 2 a b = \left(\right. 1 - a \left.\right) \left(\right. 1 - b \left.\right)\)
Đặt \(A = 1 - x\), ta thấy rằng khi thực hiện phép toán, giá trị \(A\) mới bằng tích của hai giá trị \(A\) cũ. Do đó, tích các giá trị \(A = 1 - x\) là một đại lượng bất biến trong toàn bộ quá trình.
Ban đầu, dãy số gồm:
\(\frac{1}{2020} , \frac{2}{2020} , \ldots , \frac{2020}{2020}\)
Tương ứng, các giá trị bất biến là:
\(1 - \frac{1}{2020} , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2020}{2020} = \frac{2019}{2020} , \&\text{nbsp}; \frac{2018}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 0\)
Vì có một giá trị bằng 0, nên tích các giá trị bất biến ban đầu bằng 0. Do tích này không đổi, nên sau 2019 lần biến đổi, chỉ còn lại một số duy nhất \(x\), thỏa mãn:
\(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)
Kết luận: Số còn lại trên bảng là \(\boxed{1}\).
Tổng tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 2008 trên bảng lúc đầu là:
1+2+3+..+2008=[2008+1].2008/2=2009.1004
Vì 1004 là số chẵn
suy ra 2009.1004 là số chẵn
suy ra tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 2008 trên bảng lúc đầu là 1 số chẵn
Khilaays ra 2 số bất kì a và b và thay bằng hiệu của chúng thì tổng giảm đi là:
[a+b]-[a-b]=a+b-a+b
=[a-a]+[b+b]
=2b
Vì 2b là số chẵn
Mà tổng của tất cả các số tự nhiên từ 14 đến 2008 trên bảng lúc đầu là 1 số chẵn.
vậy có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được.
Khi thực hiện xóa hai số nguyên a và b bất kỳ trên bảng rồi thay bằng hiệu a - b, tổng mới của các số trên bảng so với tổng cũ sẽ giảm đi a + b và được cộng thêm a - b.
Do đó, hiệu giữa tổng mới và tổng cũ của các số trên bảng sau mỗi bước biến đổi là:
(a - b) - (a + b) = -2b
Vì -2b là một số chẵn với mọi số nguyên b, nên sau mỗi lần thực hiện việc xóa và thay số, tổng các số trên bảng luôn giảm đi một số chẵn
Tổng của các số từ 1 đến 2027 trên bảng lúc ban đầu là:
A = 1 + 2 + ... + 2027
A = 2027 . [(2027 + 1) . 1/2]
A = 2027 . 2028/2
A = 2027 . 2014
Do số 2014 là một số chẵn nên tích 2027 . 2014 là một số chẵn
Suy ra tổng các số ban đầu trên bảng là một số chẵn.
Vì tích chẵn lẻ của tổng các số trên bảng không thay đổi qua mỗi bước biến đổi nên số cuối cùng còn lại duy nhất trên bảng phải là một số chẵn.
Mà số 1 là số lẻ nên không thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy số duy nhất còn lại trên bảng không thể là số 1.
tổng của các số từ 1 đến 2027 là:
\(\frac{2027\times\left(2027+1\right)}{2}=\frac{2027\times2028}{2}=2017\times\frac{2018}{2}=2017\times1014\)
ta có một số chẵn nhân với bất kì số nguyên nào cx đều là số chẵn
=> 2017 x 1014 là số chẵn hay tổng các số ở trên là chẵn
ta có sau khi xóa đi a và b và thay thành a-b thì tổng giá trị của tổng mới và tổng cũ là:
tổng mới= tổng cũ -a-b+( a-b)
tổng mới = tổng cũ - 2b
vì 2b luôn là số chẵn mà tổng cũ cx là số chẵn
=> tổng mới dù rút gọn sau số lần đều luôn mang giá trị chẵn
mà 1 là số lẻ nên số đó ko thể là 1
Không thể là số 1.
Vì mỗi bước xóa hai số a, b và thay bằng a - b thì tổng các số trên bảng thay đổi là:
Tổng mới = Tổng cũ - a - b + (a - b)
= Tổng cũ - 2b
Vì 2b là số chẵn nên tính chẵn lẻ của tổng không đổi.
Tổng ban đầu là:
1 + 2 + 3 + ... + 2027 = 2027 × 2028 : 2 = 2027 × 1014
Tổng này là số chẵn.
Vậy số cuối cùng cũng phải là số chẵn, mà 1 là số lẻ nên số cuối cùng không thể là 1.