NHỜ 500 AE GIÚP MỀNH ZS .... NGÀY MAI PHẢI NỘP OY
- 1. Cho tam giác ABC cân tại A có góc B=60 độ, đường cao AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA
a) CM: Tứ giác ABEC là hình thoi và tính số đo góc BEC
b) Hai điểm D,E đối xứng nhau qua điểm C. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AC tại F. Tứ giác ADFE là hình gì?Vì sao?
c) CM: Tứ giác ABEF là hình thang cân
d) Điểm C có là trực tâm của tam giác DBF không ? Giải thích?
- 2. Cho tam giác ABC(AB<AC), đoạn AI là đường cao và ba điểm D,E,F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB,AC,BC.
a) CM: Tứ giác BDEF là hình bình hànhb) Điểm J là điểm dối xứng của điểm I qua điểm E. Tứ giác AICJ là hình gì? Vì sao?
b) Điểm J là điểm đối xứng của diểm I qua điểm E. Tứ giác AICJ là hình gì? Vì sao?
c) Hai đường thẳng BE,DF cắt nhau tại K. CM : Hai tứ giác ADKE và KECF có diện tích bằng nhau
d) Tính diện tích tam giác ADE theo diện tích tam giác ABC
- 3. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. Gọi K là trung điểm của MC, E là điểm đối xứng của D qua K.
a) CM: Tứ giác ABDC là hình thoi
b) CM: Tứ giác AMCE là hình chữ nhật
c) AM và BE cắt nhau tại I. CM : I là trung điểm của BE
d) CM: AK,CI,EM đồng quy
- 4. Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD), trên cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM=CN.
a) CMR: BM song song với DN
b) Gọi O là trung điểm của BD. CMR: AC,BD,MN đồng quy tại O
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt CD tại Q. CMR : PBQD là hinh thoi
d) Đường thẳng qua B song song với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K. CMR : AC vuông góc với CK.
- 5. Cho tam giác ABC cân tại Acó M là trung điểm của cạnh BC . Gọi D là điểm đối xứng với A qua M.
a) CM : Tứ giác ABDC là hình thoi
b) Vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại điểm F. CM: Tứ giác ADBF là hình bình hành
c) Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại điểm E. CM: Tứ giác BCEF là hình chữ nhật
d) Nối EM cắt AC tại N, kéo dài BN cắt EC tại I. CM: SIBC = 1/4 SBCEF
- 6. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy một điểm E nằm giữa hai điểm O và B. Gọi F là điểm đối xứng với điểm A qua E và I là trung điểm của CF.
a) CM: Tứ giác OEFC là hình thang và tứ giác OEIC là hình bình hành
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của điểm F trên các đường thẳng BC và CD. CM: Tứ giác CHFK là hình chữ nhật và I là trung điểm của HK
c) CM: ba điểm E,H,K thẳng hàng
a) vì ABCD là hình vuông và O là giao của hai đường chéo
=> OA=OB=OC=OD và AC⊥BD tại O nên góc BOC= 90 độ
mà ta có OBM= góc OCN= 45 độ( tính chất phân giác của hai đường chéo trong hình vuông)
xét tam giác OMB và tam giác ONC có:
OB=OC
góc OBM= góc OCN= 45 độ
BM=CN
=> △OMB=△ONC(c.g.c)
=> OM=ON
=> △MON cân tại O và góc BOM= góc CON
ta có góc MON= góc MOB+ góc BON
mà góc BOM= góc CON
=> góc MON= góc CON+ góc BON= góc BOC= 90 độ
từ các điều trên=> △MON là tam giác vuông cân tại O
b) vì CE//AB
=> \(\frac{EC}{AB}=\frac{CN}{BN}\)
mà AB=BC và CN=BM
=> \(\frac{EC}{BC}=\frac{BM}{BN}\)
=> \(\frac{EC}{BM}=\frac{BC}{BN}\)
Xét tam giác ECB và tam giác MBN có:
góc ECB= góc MBN= 90 độ
\(\frac{EC}{BM}=\frac{BC}{BN}\)
=> △ECB~△MBN(c.g.c)
=> góc CBE= góc BNM
=> MN//BE
=> góc BFO= góc MNO( đồng vị)
mà vì △MNO vuông cân tại O nên góc MNO= 45 độ
=> góc BFO= 45 độ
ta có góc OBF= góc OBC+ góc CBE= 45 độ+ góc CBE
góc ONB= góc ONM+ góc BNM= 45 độ+ góc BNM
mà góc CBE= góc BNM
=> góc OBF= góc ONB
xét tam giác OBF và tam giác ONB có:
góc FOB là góc chung
góc OBF= góc ONB
=> △OBF~△ONB(g.g)
=> \(\frac{OB}{ON}=\frac{OF}{OB}\)
mà OB=OC
=> \(\frac{OC}{ON}=\frac{OF}{OC}\)
=> \(\frac{OC}{OF}=\frac{ON}{OC}\)
xét tam giác OCF và tam giác ONC có:
góc COF là góc chung
\(\frac{OC}{OF}=\frac{ON}{OC}\)
=> △COF~△ONC(c.g.c)
=> góc OFC=góc OCN
mà góc OCN= 45 độ( tính chất hai đường cheo trong hình vuông)
=> góc OFC=45 độ
góc BFC= góc BFO+ góc OFC= 45 độ+ 45 độ= 90 độ
=> CF⊥BE tại F
c) ta có chu vi tứ giác OMBN bằng:
\(C_{OMBN}=\) OM+MB+BN+ON
mà OM=ON và MB=NC
=> \(C_{OMBN}=2OM+\left(NC+BN\right)\)
\(C_{OMBN}=2OM+BC\)
vì cạnh BC là cạnh hình vuông nên nó luôn cố định
=> để chu vi nhỏ nhất thì OM phải nhỏ nhất
kẻ OH⊥AB tại H
ta có OM là đường xiên còn OH là đường vuông góc nên để OM nhỏ nhất thì M phải trùng với H
mà ABCD là hình vuông và O là tâm hình vuông
=> △OAB cân tại O mà có OH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> để chu vi OMBN nhỏ nhất thì M phải là trung điểm AB
`a)` Vì `ABCD` là hình vuông có `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD`.
`=> OA = OB = OC = OD` và `AC⊥BD` tại `O => ^BOC = 90°`
Mà ta có ahi đường chéo
`=> ^OBA = ^OCB (= 45°)`
`=> ^OBM = ^OCN (= 45°)
Xét `∆OMB` và `∆ONC`, ta có:
`OB = OC` (cmt)
`^OBM = ^OCN (= 45°)` (cmt)
`BM = CN` (gt)
`=> ∆OMB~∆ONC` `(c.g.c)`
`=> OM = ON` (hai cạnh tương ứng)
`=> ∆MON` cân tại `O`. `(1)`
`=> ^BOM = ^CON` (hai góc tương ứng)
Ta lại có:
`^MON = ^MOB + ^BON`
Thay `^MOB = ^CON`, ta có:
`^MON = ^CON + ^BON = ^BOC`
Mà `^BOC = 90°`
`=> MON = 90°` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `∆MON` vuông cân tại `O`
`b)` Xét `∆ABM` và `∆BCN`,ta có:
`AB = BC` (hai cạnh hình vuông)
`^BAM = ^CBN (= 90°)`
`BM = CN` (gt)
`=> ∆ABM~∆BCN` `(c.g.c)`
`=> ^BAM = ^CBN` (hai góc tương ứng)
Gọi I là giao điểm của `AN` và `BM`
Xét tam giác vuông `ABM` vuông tại `A`, ta có:
`^BAM = ^AMB (= 90°)`
Mà `^BAM = ^CBN`
`=> ^CBN + ^AMB (= 90°)`
Xét `∆BIM`, có:
`^BIM = 180° - (^CBN + ^AMB)`
`^BIM = 180° - 90°`
`^BIM = 90°`
`=> AN⊥BM` hay `AE⊥BM`
Vì `ABCD` là hình vuông nên `AB // CD`
Mà `E` là giao điểm của `AN` và `DC`
`=> AB // CE`
Xét `∆EAN` có `AB // CE`
Áp dụng hệ quả định luật ta-lét, ta có:
`EC/AB = CN/NB`
Do `AB = BC` (cạnh hình vuông) và `CN = BM` (gt), ta thay vào được:
`EC/BC = CN/BN` `(1)`
Xét `∆BCE` vuông tại `C` và `∆MBN` vuông tại `B`, ta có:
`^BCE = ^MBN (= 90°)`
`EC/BC = CN/BN`
`=> ∆BCE~∆MBN` `(c.g.c)`
`=> ^BEC = ^MNB` (hai góc tương ứng)
Gọi `K` là giao điểm của đường thẳng `CF` và `BE`
Xét `∆BCE` vuông tại `C`, có:
`^BEC + ^EBC (= 90°)` (theo tính chất góc phụ nhau)
Mà `^BEC = ^MNB`
`=> ^MNB + ^EBC (= 90°)`
Xét `∆BKC`, có:
`^KBC + ^KCB (= 90°)`
`=> ^BKC = 180° - (KBC + ^KCB)`
`=> ^BKC = 180° - 90°`
`=> ^BKC = 90°`
`=> CK⊥BK` hay `CF⊥BE` (đpcm)
`c)` Ta có chu vi tứ giác `OMBN`
`=> OMBN = OM + MB + BN + ON`
Mà ta có `OM = ON` (cmt)
Vì `N∈BC`
`=> BN = BC - CN`
Mà `CN = BM` (gt)
`=> BN = BC - BM`
`=> BM + BN = BC`
`=> OMBN = (OM + ON) + (BM + BN)`
`=> OMBN = 20M + BC`
Do hình vuông `ABCD` cố định nên cạnh `BC` luôn cố định
`=>` Để chu vi nhỏ nhất thì OM phải nhỏ nhất.
Kẻ `OH⊥AB` tại `H`
Xét `∆OHM` vuông tại `H`
Áp dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, ta có:
`OM ≥ OH
Do đó, `OM(min) = OH`
Dấu `"="` xảy ra khi `M` trùng với `H`
`=>` Để chu vi `OMBN` đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm `M` là trung điểm của `BC`