Tìm các giá trị nguyên x,y thõa mãn : \(y^2=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

Giải :

Do \(y^2\ge0\) =>  \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge0\)

                       <=> \(\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)\ge0\)

Xảy ra hai trường hợp 

\(\left(I\right)\hept{\begin{cases}x^2+3x\ge0\\x^2+3x+2\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x+3\right)\ge0\\x\left(x+3\right)\ge-2\end{cases}}\Rightarrow x\left(x+3\right)\ge0\) 

\(\left(II\right)\hept{\begin{cases}x^2+3x\le0\\x^2+3x+2\le0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x+3\right)\le0\\x\left(x+3\right)\le-2\end{cases}}}\Rightarrow x\left(x+3\right)\le-2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\left(x+3\right)\ge0\\x\left(x+3\right)\le-2\end{cases}}\)

+)  Với \(x\left(x+3\right)\ge0\)

=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ge-3\end{cases}}\)           hoặc                 \(\hept{\begin{cases}x\le0\\x\le-3\end{cases}}\)

=>  \(\orbr{\begin{cases}x\ge0\\x\le-3\end{cases}}\)

+)  Với  \(x\left(x+3\right)\le-2\)=> \(x^2+3x+2\le0\)  =>  \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\le0\)

=> \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\x+2\le0\end{cases}}\)                          hoặc                \(\hept{\begin{cases}x+1\le0\\x+2\ge0\end{cases}}\)

=>  \(\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le-2\end{cases}}\left(removed\right)\)     hoặc                \(\hept{\begin{cases}x\le-1\\x\ge-2\end{cases}}\Rightarrow-2\le x\le-1\Rightarrow x\in\left\{-2;-1\right\}\)

Vậy với \(y^2\ge0\) thì  \(\orbr{\begin{cases}x\ge0\\x\le-3\end{cases}}\) hoặc  \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=-1\end{cases}}\)

Đẳng thức xảy ra <=> dấu bằng của các trường hợp được xét trên xảy ra    hay   

\(\hept{\begin{cases}y=0\\x\in\left\{0;-1;-2;-3\right\}\end{cases}}\)

P/s : Mấy pác xem hộ em :) , sai chỗ nào chỉ em với :V 

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2+y^2=25\\\left(x+y\right)^2+x^2=26\end{cases}}\)

b) \(\hept{\begin{cases}x-y-xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)

c) \(\hept{\begin{cases}2x^2+xy+3y^2-2y-4=0\\3x^2+5y^2+4x-12=0\end{cases}}\)

Ai nhanh và đúng thì mình sẽ tick và add friends nhé. Thanks. Please help me!!! PLEASE!!!

g) \(|9-7x|=5x-3\)

Vì \(|9-7x|\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow5x-3\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge\frac{3}{5}\)

Ta có: \(|9-7x|=5x-3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}9-7x=5x-3\\9-7x=3-5x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}-7x-5x=-3-9\\-7x+5x=3-9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}-12x=-12\\-2x=-6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1>\frac{3}{5}\left(chon\right)\\x=3>\frac{3}{5}\left(chon\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{1;3\right\}\)

h) \(8x-|4x+1|=x+2\)

\(\Leftrightarrow|4x+1|=7x+2\)

Vì \(|4x+1|\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow7x+2\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge\frac{-2}{7}\)

Ta có: \(|4x+1|=7x+2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4x+1=7x+2\\4x+1=-7x-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}-3x=1\\11x=-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}\left(loai\right)\\x=\frac{-3}{11}>\frac{-2}{7}\left(chon\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=\frac{-3}{11}\)

bt em gửi cô Thương

1)\(ĐKXĐ\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne3\end{cases}}\)

 \(\frac{x+5}{x-1}=\frac{x+1}{x-3}-\frac{8}{x^2-4x+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+5}{x-1}-\frac{x+1}{x-3}+\frac{8}{x^2-4x+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+5}{x-1}-\frac{x+1}{x-3}+\frac{8}{x^2-x-3x+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+5\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}+\frac{8}{x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x-15}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}-\frac{x^2-1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}+\frac{8}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-6}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)( tm)

Vậy nghiemj của pt x=3

2)\(x^3-x^2-9x+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}}\)hoặc x+3=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)hoặc x=-3

Vậy tập hợp nghiệm \(S=\left\{1;3;-3\right\}\)

Đề:

Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức 5x² + 5y² + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức M = (x + y)²⁰¹⁵ + (x - 2)²⁰¹⁶ + (y + 1)²⁰¹⁷

Giải:

5x² + 5y² + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0

x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 + 4x² + 8xy + 4y² = 0

(x - 1)² + (y + 1)² + 4(x² + 2xy + y²) = 0

(x - 1)² + (y + 1)² + 4(x + y)² = 0

mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\left(y+1\right)^2\ge0\)

\(4\left(x+y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2+4\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-1=0\\y+1=0\\x+y=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\y=-1\end{array}\right.\)

Thay x = 1 và y = - 1 vào M, ta có:

\(M=\left[1+\left(-1\right)\right]^{2015}+\left(1-2\right)^{2016}+\left(-1+1\right)^{2017}\)

\(=0^{2015}+\left(-1\right)^{2016}+0^{2017}\)

\(=1\)

Trịnh Trân Trân <3