Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 :
Đặt \(n^2+2n+4=a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2+3=a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(n+1\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-n-1\right)\left(a+n+1\right)=3\)
TH1 \(\hept{\begin{cases}a+n+1=3\\a-n-1=1\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}a+n+1=-3\\a-n-1=-1\end{cases}}\)
TH3 : \(\hept{\begin{cases}a+n+1=-1\\a-n-1=-3\end{cases}}\)
TH4 : \(\hept{\begin{cases}a+n+1=1\\a-n-1=3\end{cases}}\)
Bạn tính ra trong từng TH nhé !
Câu 1 :
Giả sử : \(n^2+2n+4=k^2\left(k\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow k^2-\left(n^2+2n+1\right)=3\)
\(\Rightarrow k^2-\left(n+1\right)^2=3\)
\(\Rightarrow\left(k+n+1\right)\left(k-n-1\right)=3\)
Do k + n + 1 > k - n - 1 ( với k;n thuộc Z )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}k+n+1=3\\k-n-1=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k+n=2\\k-n=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=2\\n=0\end{cases}}\)
Vậy n = 0
Câu 2:
a) \(ĐKXĐ:x\ne1\)
\(A=\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^3+x-x^2-1}\right)\div\left(1-\frac{2x}{x^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\right)\div\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{x^2+1-2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\div\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{x-1}\)
b) Để A > 0
\(\Leftrightarrow x-1>0\)(Vì\(1>0\))
\(\Leftrightarrow x>1\)
Bài 1: Giải: Xét tam giác ACD có F,G lần lượt là trung điểm AC,DC nên FG là đường trung bình
\(\Rightarrow\)\(FG//AD\)
C/m tương tự đc \(EH//AD; GH//EF//BC\)
\(\Rightarrow EFGH\) là hình bình hành
a/Để EFGH là hình chữ nhật thì góc \(FGH=90^o\)
\(\Rightarrow góc HGD+góc FGC=90^o\)
Mà góc HGD=góc BCD;góc FGC= góc ADC ( góc đồng vị = nhau)
\(\Rightarrow\) góc BCD+góc ADC=\(90^o\)
\(\Rightarrow\)Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần có góc BCD+góc ADC=\(90^o\)
b/Để EFGH là hình thoi thì FG=HG
Mà FG=1/2AD; HG=1/2BC
\(\Rightarrow\)AD=BC
\(\Rightarrow\)Để EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD có AD=BC
c/ để EFGH là hình vuông thì EFGH phải vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi\(\Rightarrow \)ABCD phải có đủ cả 2 điều kiện trên
- Bài 1
a) Xét tam giác BCD có BM=MD(gt), BN=NC(gt) => MN là đg` TB => MN// DC => MN// DE(1)
và MN=1/2DC => MN= DE(2)
từ (1)và (2) => MNED là hbh
b) MNED là hbh(câu a) => MD//NE => ADM= DEN(đồng vị)
Xét tam giác ABD vg tại A có BM=DM=> AM là trung tuyến => AM=1/2BD= MD
=> tam giác ADM cân tại M => MDA = DAM
=> DEN= MAD (3)
MN//DE=> MN//AE => AMNE là hình thang (4)
từ (3)và (4) => AMNE là hình thang cân
c) để MNED là hình thoi \Leftrightarrow MNED là hbh có MD=DE \Leftrightarrow 1/2BD=1/2CD \Leftrightarrow BD = CD \Leftrightarrow tam giác BCD cân tại D \Leftrightarrow DBC=góc C \Leftrightarrow góc C=1/2góc B\Leftrightarrow góc C=2góc B
Vậy để MNED là hình thoi thì tam giác ABC có góc C=2góc B17 Tháng mười hai 2013#2 
nhuquynhdatGuest
bài 2
a) AB//CD => AB//CE(1)
Xét tam giác ADE có AH là đg` cao
lại có E đối xứng với D qua H => H là trung điểm của DE => AH là trung tuyến
=> tam giác ADE cân tại A
=> ADE=AED(goác đáy tam giác cân)
mặt khác ABCD là hình thang cân => ADC=góc C
=> góc C= AED
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của AE và BC => AE//BC(2)
từ (1)và (2) => ABCE là hbh
b) xét tam giác AHE và tam giác FHD có góc AHE=góc DHF(đối đỉnh)
DH=HE(gt)
AE//DF(gt)=> AEH=FDH(SLT)
=>tam giác AHE=tam giác FHD(gcg) => AH=HF => H là TĐ của AF
c) Ta có AH=HF(câu b)DH=HE(gt) => ADFE là hbh
mà AH vg góc với ED=> AF vg góc với ED => ADEF là hình thoi
lại có tam giác ADE cân tại A (câu a)=> AD=AE => ADEF là hình vg
a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)
\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)
\(DK=KC=\frac{DC}{2}\)
mà AB=BC=DC
nên AE=EB=BF=FC=DK=KC
Xét tứ giác AECK có
AE//CK
AE=CK
Do đó: AECK là hình bình hành
b: Xét ΔDCF vuông tại C và ΔCBE vuông tại B có
DC=CB
CF=BE
Do đó: ΔDCF=ΔCBE
=>\(\hat{FDC}=\hat{ECB}\)
mà \(\hat{FDC}+\hat{CFD}=90^0\) (ΔCFD vuông tại C)
nên \(\hat{ECB}+\hat{CFD}=90^0\)
=>EC⊥DF
c: Sửa đề: AK cắt DF tại N, EC cắt DF tại M. Chứng minh ND=NM
AECK là hình bình hành
=>AK//CE
=>NK//MC
Xét ΔDMC có
K là trung điểm của DC
KN//MC
Do đó: N là trung điểm của DM
=>DN=NM
a)
Vì ABDE là hình vuông nên AE = AB và AE ⟂ AB
Vì ACFG là hình vuông nên AG = AC và AG ⟂ AC
Trong hình bình hành EAGK ta có EK = AG, KG = AE
Suy ra AK là đường chéo tương ứng của hình tạo bởi hai vectơ AE và AG
Do đó AK = BC
b)
Vì AE ⟂ AB và AG ⟂ AC nên AK là hợp của hai vectơ vuông góc tương ứng với AB và AC
Suy ra AK là ảnh quay 90° của BC
Do đó AK ⟂ BC
c)
Trong hình vuông ABDE và ACFG ta có BF và CD là các đường tạo bởi các phép quay 90° tương ứng
KA cũng là đường tạo bởi cùng phép quay với BC
Suy ra KA, BF, CD đồng quy tại một điểm cố định
mh làm nhầm lớp:)
Sửa lại:
a)
Vì ABDE là hình vuông nên AE = AB, AE ⟂ AB
Vì ACFG là hình vuông nên AG = AC, AG ⟂ AC
Trong hình bình hành EAGK ta có EK = AG, KG = AE
Suy ra AK = BC
b)
Vì AE ⟂ AB và AG ⟂ AC nên AK là đường tạo bởi hai đoạn vuông góc với AB và AC
Suy ra AK ⟂ BC
c)
Trong hai hình vuông ABDE và ACFG ta có BF và CD là các đường tạo bởi các cạnh vuông góc
KA cũng được tạo theo cùng cách với BC
Suy ra KA, BF, CD cùng đi qua một điểm (đồng quy)
một điều khá thú vị là bài này nếu anh em nào quan tâm toán học sẽ thấy nó từng xuất hiện trong lớp 7
a) vì AEDB là hình vuông
=> AE=AB
vì ACFG là hình vuông
=> AG=AC
vì EKGA là hình bình hành
=>EK=AG
=>EK=AC
ta có góc KEA+ góc EAG=180 độ( hai góc đối nhau trong tứ giác)(1)
mà góc BAC+ góc BAE+ góc EAG+ góc CAG= 360 độ
thay góc BAE= góc CAG= 90 độ vào ta có:
góc BAC+ góc EAG+ 180 độ= 360 độ
=> góc BAC+ góc EAG=180 độ(2)
từ (1)(2)=> góc KEA= góc BAC
xét tam giác KEA và tam giác BAC có:
AE=AB
góc KEA= góc BAC
EK=AC
=> △KEA=△BAC(c.g.c)
=>AK=BC
b) gọi H là giao của AK và BC
ta có tam giác EAK= tam giác ABC
=> góc EKA= góc ACH
mà ta có góc KAG+ góc GAC+ góc CAH= 180 độ
mà góc GAC= 90 độ
=> góc KAG+ góc CAH= 90 độ
mà ta có gó EKA= góc KAG( so le trong vì EK//AG)
=> góc EKA+ góc CAH= 90 độ
mà góc ACH= góc EKA
=> góc ACH+ góc CAH= 90 độ
=> góc AHC= 90 độ
=> AK⊥BC
câu c) mai làm tiếp đi ngủ đây nhờ các tiền bối giúp nha:)
c) ta có góc BCF= góc BCA+ góc ACF
thay góc ACF= 90 độ vào
=> góc BCF= 90 độ+ góc BCA(1)
ta có góc KAC= góc KAG+ góc GAC
thay góc GAC= 90 độ
=> góc KAC= 90 độ+ góc KAG
mà góc KAG= góc EKA( so le trong)
=> góc KAC= 90 độ+ góc EKA
mà ta có góc EKA= góc BCA(cmt)
=> góc KAC= 90 độ+ góc BCA(2)
từ (1)(2)=> góc KAC= góc BCF
xét tam giác KAC và tam giác BCF có:
AK=BC( cm cở câu a)
CF=AC( vì ACFG là hình vuông)
góc KAC= góc BCF
=> △KAC=△BCF(c.g.c)
=>góc BFC= góc ACK
mà ta có góc ACK+ góc KCF= góc ACF= 90 độ
=> góc BFC+ góc KCF= 90 độ
gọi giao của KC và BF là P
Xét tam giác PFC có:
=> góc PFC+ góc PCF= 90 độ
=> góc CPF= 90 độ
=> BF⊥KC
CM tương tự: => CD⊥KB
mà KH⊥BC
=> AK,BF,CD đồng quy
a) Vì EAGK là hình bình hành nên AK = EG và AK // EG
Xét hai hình vuông ABDE và ACFG, ta có:
AE = AB, AG = AC
Góc EAG = góc BAC + 90° + 90° = góc BAC + 180°
Suy ra tam giác EAG và tam giác BAC có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa bù nhau, nên EG = BC
Mà AK = EG nên AK = BC
b) Vì AK // EG nên chỉ cần chứng minh EG vuông góc với BC
Do hình vuông nên AE vuông góc AB, AG vuông góc AC
Khi quay AB thành AE và AC thành AG cùng một góc 90° thì đoạn BC cũng quay thành EG
Vì vậy EG vuông góc với BC
Mà AK // EG nên AK vuông góc với BC
c) Gọi O là giao điểm của BF và CD
Từ hai hình vuông ABDE và ACFG, các đường BF và CD là hai đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai hình vuông dựng ngoài tam giác
Theo định lí Napoleon mở rộng, đường thẳng đi qua A và song song với EG cũng đi qua giao điểm của BF và CD
Mà AK // EG nên A, K, O thẳng hàng
Vậy các đường thẳng KA, BF, CD đồng quy
Giải thích: bài toán dựa vào tính chất hình vuông, hình bình hành và phép quay 90°, từ đó suy ra AK bằng và vuông góc với BC, đồng thời KA đi qua giao điểm của BF và CD.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0,0), B(a,0), C(x,y)
Vì ABDE là hình vuông dựng ra phía ngoài nên E(0,-a), D(a,-a)
Vì ACFG là hình vuông dựng ra phía ngoài nên G(-y,x), F(x-y,y+x)
Do EAGK là hình bình hành nên AK = EG, suy ra K = E + G = (-y,x-a)
a) Ta có AK = √[(-y)² + (x-a)²] = √[y² + (x-a)²]
Mà BC = √[(x-a)² + y²]
Vậy AK = BC
b) Véc tơ AK = (-y,x-a), véc tơ BC = (x-a,y)
AK.BC = (-y)(x-a) + (x-a)y = 0
Vậy AK vuông góc với BC
c) Gọi P là giao điểm của BF và CD
Từ phương trình đường thẳng BF và CD, ta tìm được P có dạng P = t(-y,x-a)
Suy ra P thuộc đường thẳng AK
Vì P cũng thuộc BF và CD nên KA, BF, CD đồng quy tại P
Giải thích, dùng tọa độ để biểu diễn các đỉnh của hai hình vuông, khi đó AK là ảnh quay 90° của BC nên AK = BC và AK vuông góc BC, đồng thời giao điểm của BF và CD nằm trên AK nên ba đường thẳng đồng quy.