\(x^{2} - 2 x = 2 \sqrt{2 x - 1}\)

\(\Leftrightarrow 2 x - 1 \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } x^{2} - 2 x \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. x^{2} - 2 x \left.\right)^{2} = 4 \left(\right. 2 x - 1 \left.\right)\) \(\Rightarrow x \geq 2.\)

Ta có:

\(\left(\right. x^{2} - 2 x \left.\right)^{2} = 4 \left(\right. 2 x - 1 \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow \left(\right. x^{2} - 2 x - 2 \left.\right)^{2} = 8\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-2=2\sqrt{2}\textrm{ V }x^2-2x-2=-2\sqrt{2}.\)

Tiếp tục:

\(x^{2} - 2 x - 2 = 2 \sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} = \left(\right. \sqrt{2} + 1 \left.\right)^{2}\)

\(\Leftrightarrow x=2+\sqrt{2}\textrm{ V }x=-\sqrt{2}.\)

Và:

\(x^{2} - 2 x - 2 = - 2 \sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} = \left(\right. \sqrt{2} - 1 \left.\right)^{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\textrm{ V }x=2-\sqrt{2}.\)

Do \(x \geq 2\), suy ra:

\(x=2+\sqrt{2}.\)

Vậy:..

*V là hoặc. Vì ko cs kí hiệu chuẩn.

\(\)

Ta có: $x^2-2x = 2\sqrt{2x-1}$

Điều kiện xác định: $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

Phương trình tương đương:

$x^2-2x+1 = 2x-1+2\sqrt{2x-1}+1$

$\Leftrightarrow (x-1)^2 = (\sqrt{2x-1}+1)^2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x-1 = \sqrt{2x-1}+1\\x-1 = -\sqrt{2x-1}-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x-2 = \sqrt{2x-1}\\x = -\sqrt{2x-1}\end{matrix}\right.$

Trường hợp 1: $x-2 = \sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge 2\\(x-2)^2 = 2x-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge 2\\x^2-6x+5 = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge 2\\\left[\begin{matrix}x = 1\\x = 5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $x = -\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 0\\x^2 = 2x-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 0\\(x-1)^2 = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 0\\x = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x \in \emptyset$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{5\}$

\(\times^2-2x=2\sqrt{2x-1}\)

(ĐKXĐ:\(2x-1\ge0\Leftrightarrow2x\ge1\Leftrightarrow x\ge\frac12\))

Đặt \(y=\sqrt{2x-1}\) (ĐK: \(y\ge0\))

Bình phương: \(y^2=2x-1\Leftrightarrow2x=y^2+1\) (*)

Thay \(y=\sqrt{2x-1}\) vào phương trình ban đầu, ta được:

\(x^2-2x=2y\Leftrightarrow x^2=2x+2y\) (**)

Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình đối xứng \(\begin{cases}x^2\\ y^2\end{cases}\)

\(\Rightarrow x^2-y^2=\left(2x+2y\right)-\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2=2y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y^2+2y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+1\right)^2=0\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương vào phương trình trên, ta có:

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x-y-1=0\Rightarrow y=x-1\\ x+y+1=0\Rightarrow y=-x-1\end{array}\right.\)

TH1: y = x - 1

Vì điều kiện \(y\ge0\) nên \(x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)

Thay \(y=x-1\) vào phương trình \(y^2=2x-1\) , ta có:

\(\left(x-1\right)^2=2x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=2x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\)

Ta có \(\Delta^{\prime}=\left(-2\right)^2-1.2=2>0\)

Phương trình có hai nghiệm:

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x_1=2+\sqrt2\left(tm\right)\\ x_2=2-\sqrt2\end{array}\right.\) (ĐK:\(x\ge1\))

TH2: y = -x - 1

Vì điều kiện ban đầu là \(x\ge\frac12\)

\(\Rightarrow-x\le\frac12\Leftrightarrow-x-1\le\frac32\)

Do đó, y = -x-1<0 (vô lí, ĐK:\(y\ge0\))

Tập nghiệm phương trình đã cho là: \(B=\left\lbrace2+\sqrt2\right\rbrace\)

ĐKXĐ: 2x-1≠0

=> 2x≠1

=>x≠\(\frac12\)

đặt a=\(\sqrt{2x-1}\)

=> \(a^2=2x-1\)

=> \(2x=a^2+1\)

thay vào phương trình ban đầu ta có:

\(x^2-\left(a^2+1\right)=2a\)

=> \(x^2-a^2-1-2a=0\)

=> \(x^2-\left(a+1\right)^2=0\)

=> \(\left(x-a-1\right)\left(x+a+1\right)=0\)

TH1: x-a-1=0

=> a=x-1

thay a=\(\sqrt{2x-1}\) ta có

\(\sqrt{2x-1}\) = x-1

ĐKXĐ: x-1\(\ge0\)

=> \(x\ge1\)

bình phương hai vế lên ta có:

\(2x-1=\left(x-1\right)^2\)

\(2x-1=x^2-2x+1\)

=> \(x^2-4x+2=0\)

=> \(\left(x-2\right)^2-2=0\)

=> \(\left(x-2\right)^2=2\)

TH1: \(x-2=\sqrt2\)

=> \(x=\sqrt2+2>2>1\) ( TM)

TH2: \(x-2=-\sqrt2\)

=>\(x=-\sqrt2+2<1\) ( KTM)

TH2: x+a+1=0

=>a= -x -1

=> a=-(x+1)

mà ta có \(x\ge\frac12>0\Rightarrow x+1>0\) => \(-\left(x+1\right)<0\)

mà ta có \(a\ge0\) ở điều kiện ban đầu

=> mâu thuẫn nên TH này bỏ

=> nghiệm duy nhất là: \(x=\sqrt2+2\)

Điều kiện:

2√(2x − 1) xác định khi 2x − 1 ≥ 0

⇔ x ≥ 1/2

Phương trình:

x² − 2x = 2√(2x − 1)

Vế phải không âm nên:

x² − 2x ≥ 0

⇔ x(x − 2) ≥ 0

⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2

Kết hợp điều kiện x ≥ 1/2 suy ra:

x ≥ 2

Bình phương hai vế:

(x² − 2x)² = 4(2x − 1)

⇔ x⁴ − 4x³ + 4x² − 8x + 4 = 0

⇔ (x² − 2x − 2)² = 0

⇔ x² − 2x − 2 = 0

⇔ x = 1 ± √3

Đối chiếu điều kiện x ≥ 2:

x = 1 + √3 thỏa mãn

x = 1 − √3 loại

Vậy nghiệm của phương trình là:

x = 1 + √3

Giải thích: Sau khi bình phương thu được hai nghiệm, nhưng chỉ x = 1 + √3 thỏa điều kiện ban đầu.