Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}x+y=z\left(1\right)\\x^3+y^3=z^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta thế (1) vào (2) : \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2\)
<=> \(\left(x+y\right)^2-3xy=\left(x+y\right)\)
Đặt: \(x+y=S;xy=P\)vì x, y nguyên dương => S; P nguyên dương
ĐK để tồn tại nghiệm x, y là: \(S^2\ge4P\)
Có: \(S^2-3P=S\)
=> \(S+3P\ge4P\)<=> \(S\ge P\)
=> \(S^2-S=3P\le3S\)
<=> \(0\le S\le4\)
+) S = 0 loại
+) S = 1 => P = 0 loại
+) S = 2 => P =3/2 loại
+) S = 3 => P = 2
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)<=> x =2; y =1 hoặc x = 1; y =2
=> (x; y; z ) = ( 1; 2; 3) thử lại thỏa mãn
hoặc (x; y; z) = ( 2; 1; 3 ) thử lại thỏa mãn
+) S = 4 => P = 4
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)
=> (x; y; z ) = ( 2; 2; 4) thử lại thỏa mãn.
Vậy: có 3 nghiệm là:....
Áp dung BĐT HoIder ta có
\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge\frac{1}{9}\)
"=" <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\Rightarrow x-y-z=2\sqrt{yz}-2\sqrt{3}....\)
Do x,y,z thuộc N \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}yz=9\\x=y+z\end{cases}}\). đến đây đơn giản rồi nhé .
GL
chắc j \(\sqrt{yz}-\sqrt{3}\) là số vô tỉ? Bạn thử cm cho mk đi!!!
\(x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = \frac{1}{2} \left(\right. x + y + z \left.\right) \left[\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left]\right. .\)
Do
\(x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x y z\)
nên
\(\frac{1}{2} \left(\right. x + y + z \left.\right) \left[\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left]\right. = 0.\)
Vì \(x , y , z > 0\) nên \(x + y + z > 0\).
⇒
\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} = 0.\)Do đó
\(x = y = z .\)Vậy nghiệm là
\(\left(\right.x,y,z\left.\right)=\left(\right.k,k,k\left.\right)\left(\right.k\in N^{*}\left.\right).\)Ta có:
\(x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = \left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right)\)
Do:
\(x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x y z\)
nên:
\(\left(\right. x + y + z \left.\right) \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right) = 0\)
Vì \(x , y , z > 0\) nên \(x + y + z > 0\), suy ra:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = 0\)
Hay:
\(\frac{\left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2}}{2} = 0\)
Suy ra:
\(x = y = z\)
Vậy nghiệm là:
\(\left(\right.x,y,z\left.\right)=\left(\right.k,k,k\left.\right),k\in\mathbb{N}^{*}\)
khỏi c.on=)))
Ta có:
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0
Mà:
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)/2
Vì x, y, z là số nguyên dương nên x + y + z > 0
Suy ra:
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0
⇔ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0
Suy ra:
x = y = z
Vậy tất cả nghiệm nguyên dương là x = y = z, tức là (x, y, z) = (k, k, k) với k là số nguyên dương, vì khi đó k^3 + k^3 + k^3 = 3k^3 thỏa mãn phương trình.