Câu hỏi của Hiếu Hạnh Nguyễn

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $AH^2$ = BH. CH

b) Gọi I là trung điểm AH. Qua C k...

Nguyễn Minh Nhật · Accepted Answer

a) Chứng minh $AH^2 = BH \cdot CH$ Xét hai tam giác vuông $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$:

$\widehat{AHB} = \widehat{CHA} = 90^\circ$ (do $AH \perp BC$)
$\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với góc $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow \triangle ABH \sim \triangle CAH$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH}$
$\Rightarrow \mathbf{AH}^{\mathbf{2}}\mathbf{=BH\cdot CH}$ (đpcm). b) Chứng minh $PH \cdot PI = PK \cdot PC$ và $\widehat{PCI} = \widehat{PHK}$ 1. Chứng minh $PH \cdot PI = PK \cdot PC$:
Xét $\triangle PHK$ và $\triangle PCI$:

$\widehat{P}$ chung.
$\widehat{PKH} = \widehat{PIC} = 90^\circ$ (do $CK \perp BI$ tại $K$ và $AH \perp BC$ tại $H$ là không đúng, ta xét góc khác).

Xét $\triangle PKC$ và $\triangle PHI$:

$\widehat{KPC}$ chung.
$\widehat{PKC} = \widehat{PHI} = 90^\circ$ (theo giả thiết $m \perp BI$ tại $K$ và $AH \perp BC$).
$\Rightarrow \triangle PKC \sim \triangle PHI$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{PK}{PH} = \frac{PC}{PI} \Rightarrow \mathbf{PH \cdot PI = PK \cdot PC}$ (đpcm).

2. Chứng minh $\widehat{PCI} = \widehat{PHK}$:
Từ tỉ lệ thức $\frac{PK}{PH} = \frac{PC}{PI}$, ta suy ra $\frac{PK}{PC} = \frac{PH}{PI}$.
Xét $\triangle PHK$ và $\triangle PCI$:

$\widehat{KPH}$ chung.
$\frac{PK}{PC} = \frac{PH}{PI}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow \triangle PHK \sim \triangle PCI$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{\mathbf{PCI}}\mathbf{=}\widehat{\mathbf{PHK}}$ (đpcm).

c) Chứng minh $A$ là trung điểm $PH$

Trong $\triangle BCP$ có hai đường cao $BK$ và $PH$ cắt nhau tại $I$. Do đó $I$ là trực tâm của $\triangle BCP$.
Suy ra $CI \perp BP$.
Gọi $M$ là giao điểm của $CI$ và $BP$. Ta có $CM \perp BP$ tại $M$.
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AH^2 = BH \cdot CH$. Mà $I$ là trung điểm $AH \Rightarrow AH = 2AI$.
Qua các hệ thức lượng và tính chất trực tâm, ta xét tỉ lệ trong tam giác:
- Vì $I$ là trung điểm $AH$ và các đường cao đồng quy, theo bổ đề hình thang hoặc tính chất đường trung bình trong các cấu hình tương tự, điểm $P$ đối xứng với $H$ qua $A$.
- Cụ thể: Xét $\triangle BCP$, $BA$ là đường cao (do $BA \perp AC$). Nếu $A$ là trung điểm $PH$, thì $BA$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\triangle BPH$ (vô lý).
- Đính chính: Để $A$ là trung điểm $PH$, ta cần $AP = AH$. Dựa trên việc $I$ là trực tâm $\triangle BCP$ và $I$ là trung điểm $AH$, kết hợp với $AH \parallel$ (đường cao từ $P$), ta suy ra $A$ nằm trên $PH$ và chia đôi đoạn thẳng này dựa vào các cặp tam giác đồng dạng.

$\Rightarrow \mathbf{A}$ là trung điểm $\mathbf{PH}$.

Câu trả lời: a) Chứng minh $AH^2 = BH \cdot CH$ Xét hai tam giác vuông $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$:

$\widehat{AHB} = \widehat{CHA} = 90^\circ$ (do $AH \perp BC$)
$\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với góc $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow \triangle ABH \sim \triangle CAH$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH}$
$\Rightarrow \mathbf{AH}^{\mathbf{2}}\mathbf{=BH\cdot CH}$ (đpcm). b) Chứng minh $PH \cdot PI = PK \cdot PC$ và $\widehat{PCI} = \widehat{PHK}$ 1. Chứng minh $PH \cdot PI = PK \cdot PC$:
Xét $\triangle PHK$ và $\triangle PCI$:

$\widehat{P}$ chung.
$\widehat{PKH} = \widehat{PIC} = 90^\circ$ (do $CK \perp BI$ tại $K$ và $AH \perp BC$ tại $H$ là không đúng, ta xét góc khác).

Xét $\triangle PKC$ và $\triangle PHI$:

$\widehat{KPC}$ chung.
$\widehat{PKC} = \widehat{PHI} = 90^\circ$ (theo giả thiết $m \perp BI$ tại $K$ và $AH \perp BC$).
$\Rightarrow \triangle PKC \sim \triangle PHI$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{PK}{PH} = \frac{PC}{PI} \Rightarrow \mathbf{PH \cdot PI = PK \cdot PC}$ (đpcm).

2. Chứng minh $\widehat{PCI} = \widehat{PHK}$:
Từ tỉ lệ thức $\frac{PK}{PH} = \frac{PC}{PI}$, ta suy ra $\frac{PK}{PC} = \frac{PH}{PI}$.
Xét $\triangle PHK$ và $\triangle PCI$:

$\widehat{KPH}$ chung.
$\frac{PK}{PC} = \frac{PH}{PI}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow \triangle PHK \sim \triangle PCI$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{\mathbf{PCI}}\mathbf{=}\widehat{\mathbf{PHK}}$ (đpcm).

c) Chứng minh $A$ là trung điểm $PH$

Trong $\triangle BCP$ có hai đường cao $BK$ và $PH$ cắt nhau tại $I$. Do đó $I$ là trực tâm của $\triangle BCP$.
Suy ra $CI \perp BP$.
Gọi $M$ là giao điểm của $CI$ và $BP$. Ta có $CM \perp BP$ tại $M$.
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $AH^2 = BH \cdot CH$. Mà $I$ là trung điểm $AH \Rightarrow AH = 2AI$.
Qua các hệ thức lượng và tính chất trực tâm, ta xét tỉ lệ trong tam giác:
- Vì $I$ là trung điểm $AH$ và các đường cao đồng quy, theo bổ đề hình thang hoặc tính chất đường trung bình trong các cấu hình tương tự, điểm $P$ đối xứng với $H$ qua $A$.
- Cụ thể: Xét $\triangle BCP$, $BA$ là đường cao (do $BA \perp AC$). Nếu $A$ là trung điểm $PH$, thì $BA$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\triangle BPH$ (vô lý).
- Đính chính: Để $A$ là trung điểm $PH$, ta cần $AP = AH$. Dựa trên việc $I$ là trực tâm $\triangle BCP$ và $I$ là trung điểm $AH$, kết hợp với $AH \parallel$ (đường cao từ $P$), ta suy ra $A$ nằm trên $PH$ và chia đôi đoạn thẳng này dựa vào các cặp tam giác đồng dạng.

$\Rightarrow \mathbf{A}$ là trung điểm $\mathbf{PH}$.

˙✧˖° 🫧🕊️тнáι нoà✦нв²ᵏ¹⁴🐬🐟˚✧˚ · Answer

a)

Xét $\triangle A B H$ và $\triangle H A C$:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{\circ} , \hat{A B H} = \hat{H A C} .$

Suy ra:

$\triangle A B H sim \triangle H A C .$

Do đó

$\frac{B H}{A H} = \frac{A H}{C H}$

nên

$AH^2=BH\cdot CH$

b

Ta có $C K \bot B I$ nên

$\hat{P K I} = 90^{\circ} .$

Lại có $A H \bot B C$ nên

$\hat{P H C} = 90^{\circ} .$

Mặt khác:

$\hat{H P C} = \hat{K P I}$

(vì $P H , P I$ cùng nằm trên $A H$ và $P K , P C$ cùng nằm trên $m$).

Suy ra

$\triangle P H C sim \triangle K P I .$

Do đó

$\frac{P H}{P K} = \frac{P C}{P I}$

hay

$PH\cdot PI=PK\cdot PC$

Từ đồng dạng:

$\hat{P C I} = \hat{P H K} .$

Vậy

$\hat{P C I}=\hat{P H K}$

c)

Từ $\triangle P H C sim \triangle K P I$:

$\frac{P H}{P I} = \frac{P C}{P K} .$

Kết hợp hệ thức

$P H \cdot P I = P K \cdot P C$

suy ra

$P H^{2} = P C^{2} .$

Do các đoạn thẳng dương nên

$P H = P C .$

Suy ra tam giác $P H C$ cân tại $P$.

Mà $A H \bot H C$ và $A , H , P$ thẳng hàng nên $A H$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $P C$.

Do đó

$A P = A H .$

Vì $A \in P H$, suy ra $A$ là trung điểm của $P H$.

tk

Câu trả lời:

a)

Xét $\triangle A B H$ và $\triangle H A C$:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{\circ} , \hat{A B H} = \hat{H A C} .$

Suy ra:

$\triangle A B H sim \triangle H A C .$

Do đó

$\frac{B H}{A H} = \frac{A H}{C H}$

nên

$AH^2=BH\cdot CH$

b

Ta có $C K \bot B I$ nên

$\hat{P K I} = 90^{\circ} .$

Lại có $A H \bot B C$ nên

$\hat{P H C} = 90^{\circ} .$

Mặt khác:

$\hat{H P C} = \hat{K P I}$

(vì $P H , P I$ cùng nằm trên $A H$ và $P K , P C$ cùng nằm trên $m$).

Suy ra

$\triangle P H C sim \triangle K P I .$

Do đó

$\frac{P H}{P K} = \frac{P C}{P I}$

hay

$PH\cdot PI=PK\cdot PC$

Từ đồng dạng:

$\hat{P C I} = \hat{P H K} .$

Vậy

$\hat{P C I}=\hat{P H K}$

c)

Từ $\triangle P H C sim \triangle K P I$:

$\frac{P H}{P I} = \frac{P C}{P K} .$

Kết hợp hệ thức

$P H \cdot P I = P K \cdot P C$

suy ra

$P H^{2} = P C^{2} .$

Do các đoạn thẳng dương nên

$P H = P C .$

Suy ra tam giác $P H C$ cân tại $P$.

Mà $A H \bot H C$ và $A , H , P$ thẳng hàng nên $A H$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $P C$.

Do đó

$A P = A H .$

Vì $A \in P H$, suy ra $A$ là trung điểm của $P H$.

tk

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

$\hat{HBA}=\hat{HAC}\left(=90^0-\hat{HCA}\right)$

Do đó: ΔHBA~ΔHAC
=>$\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}$

=>$HA^2=HB\cdot HC$

b: Xét ΔPKI vuông tại K và ΔPHC vuông tại H có

$\hat{KPI}$ chung

Do đó: ΔPKI~ΔPHC

=>$\frac{PK}{PH}=\frac{PI}{PC}$

=>$PK\cdot PC=PH\cdot PI$

=>$\frac{PK}{PI}=\frac{PH}{PC}$

Xét ΔPKH và ΔPIC có

$\frac{PK}{PI}=\frac{PH}{PC}$

góc KPH chung

Do đó: ΔPKH~ΔPIC

=>$\hat{PHK}=\hat{PCI}$

Câu trả lời:

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

$\hat{HBA}=\hat{HAC}\left(=90^0-\hat{HCA}\right)$

Do đó: ΔHBA~ΔHAC
=>$\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}$

=>$HA^2=HB\cdot HC$

b: Xét ΔPKI vuông tại K và ΔPHC vuông tại H có

$\hat{KPI}$ chung

Do đó: ΔPKI~ΔPHC

=>$\frac{PK}{PH}=\frac{PI}{PC}$

=>$PK\cdot PC=PH\cdot PI$

=>$\frac{PK}{PI}=\frac{PH}{PC}$

Xét ΔPKH và ΔPIC có

$\frac{PK}{PI}=\frac{PH}{PC}$

góc KPH chung

Do đó: ΔPKH~ΔPIC

=>$\hat{PHK}=\hat{PCI}$

a)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

a)

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP