Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 4:
5x + 7y = 112
5(x+ y) = 112 - 2y
5(x + y) = 2(56 - y)
\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)
\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)
Vậy (x ; y) = (-49; 51)
1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)
=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)
\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)
\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)
vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)
=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)
\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)
cộng hai phương trình ta có:
=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)
=> \(2x=6\)
=> x=3
=> y=4-3=1
2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)
=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)
=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)
x+y+2 | x+2y+1 | hệ phương trình | nghiệm (x;y) |
1 | 17 | x+y=-1 và x+2y=16 | (-18;17) |
17 | 1 | x+y=15 và x+2y=0 | (30;-15) |
-1 | -17 | x+y=-3 và x+2y=-18 | (12;-15) |
-17 | -1 | x+y=-19 và x+2y=-2 | (-36;17) |
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
a) \(x^2-25=y\left(y+6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-3\right)=16=1.16=...\)
| x+y+3 | -16 | -8 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| x-y-3 | -1 | -2 | -4 | -8 | -16 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| x | -17/2(loại) | -5 | -4 | -5 | -17/2(loại) | 17/2(loại) | 5 | 4 | 5 | 17/2(loại) |
| y | (loại) | -6 | -3 | 0 | (loại) | (loại) | -6 | -3 | 0 | (loại) |
Vậy có 6 cặp số (x;y):....
\(P=2x\left(x+y\right)=2x^2+2xy\) Với x khác y, x khác -y
\(3x^2+y^2+2x-2y=1\)\(\Leftrightarrow2x^2+2xy+y^2+x^2+1-2xy+2x-2y=2\)
\(\Leftrightarrow P+\left(x-y+1\right)^2=2\)\(\Leftrightarrow P=2-\left(x-y+1\right)^2\le2\)vì \(\left(x-y+1\right)^2\ge0\)với mọi x, y là số thực
Vì P nguyên dương => P=1
Khi đó \(\left(x-y+1\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y+1=-1\\x-y+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-2\\x-y=0\left(loai\right)\end{cases}}\)
vì x khác y
Bài làm
Ta có : y( x - 1 ) = x2 + 2
<=> x2 + 2 - y( x - 1 ) = 0
<=> x2 - x + x - 1 + 3 - y( x - 1 ) = 0
<=> x( x - 1 ) + ( x - 1 ) - y( x - 1 ) + 3 = 0
<=> ( x - 1 )( x - y + 1 ) = -3
Vì x, y ∈ Z => \(\hept{\begin{cases}x-1\inℤ\\x-y+1\inℤ\end{cases}}\)
Lại có \(-3=\hept{\begin{cases}-1\cdot3\\-3\cdot1\end{cases}}\)
=> Ta có bảng sau :
| x-1 | 1 | -1 | 3 | -3 |
| x-y+1 | -3 | 3 | -1 | 1 |
| x | 2 | 0 | 4 | -2 |
| y | 6 | -2 | 6 | -2 |
Tất cả các giá trị trên đều thỏa x, y ∈ Z
Vậy ( x ; y ) = { ( 2 ; 6 ) , ( 0 ; -2 ) , ( 4 ; 6 ) , ( -2 ; -2 ) }
y(x - 1) = x2 + 2
=> y(x - 1) - x2 - 2 = 0
=> y(x - 1) - x2 + 1 = 3
=> y(x - 1) - (x2 - 1) = 3
=> y(x - 1) - (x - 1)(x + 1) = 3
=> (x - 1)(y - x - 1) = 3
Ta có 3 = 1.3 = (-1).(-3)
Lập bảng xét các trường hợp
| x - 1 | 1 | 3 | -1 | -3 |
| y - x - 1 | 3 | 1 | -3 | -1 |
| x | 2 | 4 | 0 | -2 |
| y | 6 | 6 | -2 | -2 |
Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn là (2;6) ; (4;6) ; (0;-2) ; (-2;-2)
Ta có:
\(x^{2} + y^{2} + 1 = 2 x + 2 y + 2 x y .\)
Chuyển vế:
\(x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.\)
Nhận thấy
\(x^{2} + y^{2} - 2 x y = \left(\right. x - y \left.\right)^{2} ,\)
nên
\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. x + y \left.\right) + 1 = 0.\)
Đặt
\(t = x - y .\)
Khi đó
\(x + y = \frac{t^{2} + 1}{2} .\)
Suy ra
\(x = \frac{\left(\right. x + y \left.\right) + \left(\right. x - y \left.\right)}{2} = \frac{\frac{t^{2} + 1}{2} + t}{2} = \frac{t^{2} + 2 t + 1}{4} = \frac{\left(\right. t + 1 \left.\right)^{2}}{4} ,\)
và
\(y = \frac{\left(\right. x + y \left.\right) - \left(\right. x - y \left.\right)}{2} = \frac{\frac{t^{2} + 1}{2} - t}{2} = \frac{t^{2} - 2 t + 1}{4} = \frac{\left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}}{4} .\)
Vậy tất cả các nghiệm thực là
\(\left(\right.x,y\left.\right)=\left(\right.\frac{\left(\right. t + 1 \left.\right)^{2}}{4},\frac{\left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}}{4}\left.\right),t\in\mathbb{R}.\)
#tk
\(x^{2} + y^{2} + 1 = 2 x + 2 y + 2 x y .\)
Ta có :
\(x^2+y^2+1-2x-2y-2xy=0\)
⇔\(\left(\right.x+y-1\left.\right)^2-4xy=0\)
⇔\(\left(\right.x+y-1\left.\right)^2=\left(\right.2\sqrt{x y}\left.\right)^2\)
⇔\(\begin{cases}x+y-1=2\sqrt{xy}\\ x+y-1=-2\sqrt{xy}\end{cases}\)\(\)
⇔\(\begin{cases}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=1\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=1.\end{cases}\) \(\)
⇔\(\begin{cases}\left\vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\vert=1\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}\) \(\)
Vậy....\(\)
<=> \(x^2+y^2+1-2x-2y-2xy=0\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)-2x-2y+1=0\)
\(\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)-4y+1=0\)
\(\left\lbrack\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1\right\rbrack-4y=0\)
=> \(\left(x-y-1\right)^2-4y=0\)
đặt \(y=a^2\) ta có:
\(\left(x-a^2-1\right)^2-4a^2=0\)
=> \(\left(x-a^2-1-2a\right)\left(x-a^2-1+2a\right)=0\)
=> \(\left\lbrack x-\left(a^2-2a+1\right)\right\rbrack\left\lbrack x-\left(a^2-2a+1\right)\right\rbrack=0\)
=> \(\left\lbrack x-\left(a+1\right)^2\right\rbrack\left\lbrack x-\left(a-1\right)^2\right\rbrack=0\)
TH1: \(x-\left(a+1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=\left(a+1\right)^2\)
=> (x;y)=(\(\left(a+1\right)^2;a^2\)
TH2: \(x-\left(a-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=\left(a-1\right)^2\)
=>(x;y)= \(\left(a-1\right)^2;a^2\)
\(x^{2}-2xy-2x+y^{2}-2y+1=0\)
\(x^{2}-2(y+1)x+(y-1)^{2}=0\quad (1)\) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thực. Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn \(x\), ta tính biệt thức \(\Delta ^{\prime }\):
\(\Delta ^{\prime }=[-(y+1)]^{2}-1\cdot (y-1)^{2}\)
\(\Delta ^{\prime }=(y^{2}+2y+1)-(y^{2}-2y+1)\)
\(\Delta ^{\prime }=4y\) Để tồn tại số thực \(x\), phương trình (1) phải có nghiệm, tức là:
\(\Delta ^{\prime }\ge 0\iff 4y\ge 0\iff y\ge 0\) Tìm nghiệm \(x\) theo \(y\). Với \(y \geq 0\), phương trình có các nghiệm:
\(x=\frac{(y+1)\pm \sqrt{4y}}{1}=y+1\pm 2\sqrt{y}\) Ta nhận thấy các biểu thức vế phải là các hằng đẳng thức đáng nhớ:
- Nhánh 1: \(x = y + 2\sqrt{y} + 1 = (\sqrt{y} + 1)^2\)
- Nhánh 2: \(x = y - 2\sqrt{y} + 1 = (\sqrt{y} - 1)^2\)
Kết luận Các cặp số thực \((x, y)\) cần tìm là:\(\begin{cases}y\ge 0\\ x=(\sqrt{y}+1)^{2}\end{cases}\quad \text{hoc}\quad \begin{cases}y\ge 0\\ x=(\sqrt{y}-1)^{2}\end{cases}\) (Tương tự, bạn cũng có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng đối xứng: \(x \geq 0\) và \(y = (\sqrt{x} \pm 1)^2\)).