Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{1}{2}+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=2\)\(2\)
cmhoantat
a) (d1): y = (m+2)x - m + 1 có hệ số a1 = m+2, b1 = -m +1
(d2): y = (2m-5)x + m có hệ số a2 = 2m - 5, b2 = m
Vậy khi m = 7 thì (d1) song song với (d2)
Bài 2: Cho đường thẳng (AB): y = -1/3x + 2/3; (BC): y = 5x+1; (CA): y = 3x. Xác định tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Điểm B là giao điểm của (AB) và (BC):
Phương trình hoành độ giao điểm B:
Điểm A là giao điểm của (AB) và (AC) nên:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
-1/3x + 2/3 = 3x
⇔ 3x + 1/3x = 2/3
⇔ x.10/3 = 2/3
⇔ x = 1/5
=> y = 3.1/5 = 3/5
Vậy A(1/5;3/5)
Điểm C là giao điểm của (BC) và (AC) nên:
Phương trình hoành độ giao điểm C:
5x + 1 = 3x
⇔ 2x = -1
⇔ x = -1/2
> y = 3.(-1/2) = -3/2
Vậy C(-1/2;-3/2)
a. đường thẳng song song với y= -2x+5 có hệ số góc là -2
b. đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A có phương trình là : \(y=-\frac{1}{3}x\)
thế nên nó có hệ số góc là : \(-\frac{1}{3}\)
Bài làm:
Đặt $VT = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$. Ta có:
$$VT = \frac{a^2}{ab+ac} + \frac{b^2}{bc+ba} + \frac{c^2}{ca+cb}$$Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
$$VT \geq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+ac) + (bc+ba) + (ca+cb)} = \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$Mặt khác, ta luôn có $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \implies 2(ab+bc+ca) \leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2$. Do đó:
$$VT \geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2} = \frac{3}{2} \quad \text{(Đpcm)}$$Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ (vì $a+b+c=1$).
Ta có \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}}{2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)}\)
(theo bất đẳng thức Cauchy).
Vì \(a + b + c = 1\) nên
\(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{1}{2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)} .\)
Lại có
\(\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)
nên
\(1 \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) \Rightarrow a b + b c + c a \leq \frac{1}{3} .\)
Do đó
\(\frac{1}{2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)} \geq \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} .\)
⇒ \(\frac{a}{b + c}+\frac{b}{c + a}+\frac{c}{a + b}\geq\frac{3}{2}.\)
Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).
=((
cộng thêm 3 vào cả hai vế ta có:
\(\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac32+3\)
\(\frac{\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac92\)
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac92\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\Longrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
coi a+b là x ; b+c là y và c+a là z
ta có bài toán \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
áp dụng bđt cộng mẫu cho nhân tử thứ 2 ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\right)\ge\left(x+y+z\right)\left(\frac{9}{x+y+z}\right)=9\)
vậy bđt dc CM
dấu"=" xảy ra và chỉ khi a=b=c=\(\frac13\)