Xin lỗi, mình bị nhầm, bài này của lớp 8.

Xin lỗi, mình bị nhầm, bài này của lớp 8

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Nên \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

 Suy ra : \(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-d}\)

Vậy : \(\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)=>a=bk,c=dk

a,Ta có \(\frac{a-b}{a}-\frac{bk-b}{bk}=\frac{b\left(k-1\right)}{bk}\frac{k-1}{k}.1\)

Tương tự ta có \(\frac{c-d}{c}=\frac{k-1}{k}.2\)

Từ (1) và (2) suy ra đều phải chứng minh .

b,Ta có \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{bk+b}{dk+d}=\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}=\frac{b}{d}.3\)

Tương tự ta có \(\frac{a-b}{c-b}=\frac{b}{d}.4\)

Từ (3) và (4) suy ra đều phải chứng minh

AD tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}.\dfrac{a+b+c}{b+c+d}.\dfrac{a+b+c}{b+c+d}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)

\(\Rightarrow DPCM\)

Ta có : 

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)\(\Rightarrow A>1\)( 1 )

Lại có :

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)A không phải là số tự nhiên ( vì 1 < A < 2 )

Ta thấy: 

\(\frac{a+d}{a+b+c+d}>\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b+a}{a+b+c+d}>\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d} \)

\(\frac{c+b}{a+b+c+d}>\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d+c}{a+b+c+d}>\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

Do đó:

\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}>A\)

VÀ  \(A>\)\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow2>A>1\)

\(\Rightarrow\)A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0

Vậy A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0

\(\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)

\(ad+a^2+bd+ab=bc+bd+c^2+cd\)

\(a\left(b+d\right)+a^2=c\left(b+d\right)+c^2\)

\(a+a^2=c+c^2\)

\(a=c\)

có a/b <c/d=>a.d<b.c
=>ad+ab<bc+ab(cộng 2 vế với ab)
=>a(b+d)<b(a+c)
=>a/b<a+c/b+d(đpcm)

__________________________________
li-ke cho mình nhé bnLưu Nhật Khánh Ly

(+) CM \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)

\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow ad

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}\)

\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)

ad < bc => ab +ad  < ab + bc 

=> \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)

CM tương tự \(\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)

Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

⇒ \(ad< bc\)

⇒ \(2018ad< 2018bc\)

⇒ \(2018ad+cd< 2018bc+cd\)

⇒ \(\left(2018a+c\right)d< \left(2018b+d\right)c\)

⇒ \(\frac{2018a+c}{2018b+d}< \frac{c}{d}\)

Vậy \(\frac{2018a+c}{2018b+d}< \frac{c}{d}\) (ĐPCM)