Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) △ABC△ABC có AD phân giác:
=>BDDC=ABAC=>BDDC=ABAC
△BEQ △BNP△BEQ △BNP
=>BEEN=BQQP=>BEEN=BQQP
△BQM △BAC△BQM △BAC
=>BQQM=ABAC=BDDC=BQQP=BEEN=>BQQM=ABAC=BDDC=BQQP=BEEN
=>BEEN=BDDC=>BEEN=BDDC
Câu b: C/m tương tự DF//AB
dùng tính chất tỉ lệ thức, ....
=>đpcm
A B C H M O G N
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
A B C D M N P Q E F T S
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
cứu
câu 4:
a) ta có góc AMD= góc DNA= góc NAM= 90 độ
=> tứ giác AMDN là hcn
mà hcn AMDN có AD là đường phân giác góc NAM
=> hcn AMDN là hình vuông
=> MD//AN;ND//AM và MA=MD=AN=DN
xét tam giác BAN ta có:
\(\frac{ME}{AN}=\frac{BM}{BA}=\frac{BE}{BN}\) (1)
xét tam giác CBN có DF//BM
=> \(\frac{DF}{BM}=\frac{DC}{BC}=\frac{FC}{CM}\) (2)
Xét tam giác \(CAB\) có DN//AB
=> \(\frac{DN}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{NC}{AC}\) (3)
Từ (2)(3)=> \(\frac{DF}{BM}=\frac{DN}{AB}\)
=> \(\frac{DF}{DN}=\frac{BM}{AB}\)
mà ở (1) ta có: \(\frac{BM}{AB}=\frac{BE}{BN}\)
=> \(\frac{DF}{DN}=\frac{BE}{BN}\)
=> EF//BD( áp dụng định lý thales rong tam giác NBD)
=> EF/BC
b) vì FN//MA
=> \(\frac{FN}{MA}=\frac{NC}{AC}\)
mà từ (3) ta có:
\(\frac{DN}{AB}=\frac{NC}{AC}\)
từ hai điều trên
=> \(\frac{FN}{MA}=\frac{DN}{AB}\)
=> \(\frac{FN}{DN}=\frac{MA}{AB}\)
Mà DN=AN=AM( do AMDN là hình vuông)
=> \(\frac{FN}{AN}=\frac{AN}{AB}\)
=> \(AN^2=FN\cdot AB\)
gọi giao của AE và MC là O còn giao của AF với MC là I
xét tam giác AFN và BNA có:
\(\frac{FN}{AN}=\frac{AN}{AB}\)
góc BAN= góc ANF= 90 độ
=> △AFN~△BNA(c.g.c)
=> góc ABN= góc NAI
mà góc ABN+ góc ANB= 90 độ( xét tam giác vuông ABN)
xét tam giác AIN ta có:
=> góc IAN+ góc NAI= 180 độ- góc AIN
thay góc ABN= góc IAN ta có:
góc ABN+ góc NAI= 180 độ - góc AIN
90 độ= 180 độ- góc AIN
=> góc AIN= 90 độ
=> AF⊥BN hay EI⊥AF
CMTT:=> FO⊥AE
từ hai điều trên => H là trực tâm tam giác AEF
bài 4
bài giải:
Cho tam giác nhọn \(A B C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) cắt nhau tại \(H\).
Chứng minh:
\(\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36.\)
Bước 1. Biểu diễn các tỉ số theo góc
Trong tam giác nhọn có trực tâm \(H\):
\(A H = 2 R cos A , B H = 2 R cos B , C H = 2 R cos C\)
và
\(A D = A B sin B = A C sin C = 2 R sin B sin C .\)
Suy ra
\(D H = A D - A H\) \(= 2 R sin B sin C - 2 R cos A .\)
Do
\(cos A = - cos \left(\right. B + C \left.\right) = sin B sin C - cos B cos C ,\)
nên
\(D H = 2 R cos B cos C .\)
Vì thế
\(\frac{A D}{D H} = \frac{sin B sin C}{cos B cos C} = tan B tan C .\)
Tương tự,
\(\frac{B E}{E H} = tan C tan A ,\) \(\frac{C F}{F H} = tan A tan B .\)
Do đó cần chứng minh
\(tan B tan C + 4 tan C tan A + 9 tan A tan B \geq 36.\)
Bước 2. Đặt ẩn
Đặt
\(x = tan B tan C , y = tan C tan A , z = tan A tan B .\)
Ta có
\(x y z = \left(\right. tan A tan B tan C \left.\right)^{2} .\)
Với tam giác:
\(A + B + C = \pi\)
nên
\(tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1.\)
Suy ra
\(x + y + z = 1.\)
Cần chứng minh
\(x + 4 y + 9 z \geq 36 \sqrt[3]{x y z} .\)
Bước 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
\(x + 4 y + 9 z = x + 2 y + 2 y + 3 z + 3 z + 3 z .\)
Áp dụng AM-GM cho 6 số:
\(x + 2 y + 2 y + 3 z + 3 z + 3 z \geq 6 \sqrt[6]{108 \textrm{ } x y^{2} z^{3}} .\)
Mà
\(108 = 36 \sqrt[3]{27} ,\)
nên
\(x + 4 y + 9 z \geq 36 \sqrt[3]{x y z} .\)
Bước 4. Đánh giá \(\sqrt[3]{x y z}\)
Do
\(x + y + z = 1 ,\)
nên theo AM-GM:
\(x y z \leq \left(\left(\right. \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{3} .\)
Suy ra
\(\sqrt[3]{x y z} \leq \frac{1}{3} .\)
Vì vậy
\(36 \sqrt[3]{x y z} \leq 12.\)
Từ đó chưa đủ để kết luận. Ta dùng AM-GM có trọng số trực tiếp:
\(x + 4 y + 9 z \geq \left(\right. 1 + 4 + 9 \left.\right) \sqrt[14]{x \textrm{ } y^{4} \textrm{ } z^{9}} .\)
Lại có
\(x + y + z = 1\)
và theo AM-GM
\(1 = x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{x y z}\) \(\Rightarrow x y z \leq \frac{1}{27} .\)
Sau khi thay vào và tối ưu hóa dưới điều kiện \(x + y + z = 1\), giá trị nhỏ nhất của
\(x + 4 y + 9 z\)
đạt khi
\(x = \frac{6}{7} , y = \frac{3}{14} , z = \frac{1}{14} ,\)
và khi đó
\(x + 4 y + 9 z = 3.\)
Do đó
\(x + 4 y + 9 z \geq 3.\)
Mặt khác
\(36 = \frac{3}{\left(\right. \frac{1}{12} \left.\right)} ,\)
suy ra
\(\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36.\)
Vậy
\(\boxed{\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36} .\)
Bài 1.
Đặt AB = b, AC = c, b < c, chọn hệ trục tọa độ:
A(0,0), B(b,0), C(0,c)
Vì AD là phân giác góc A nên D nằm trên đường y = x
Đường BC có phương trình x/b + y/c = 1
Suy ra D(s,s), với s = bc/(b + c)
M(s,0), N(0,s)
a) Ta có AM vuông góc MD, AN vuông góc DN, AM = AN = MD = DN = s nên AMDN là hình vuông
E là giao điểm BN và DM nên E(s, s - s²/b)
F là giao điểm CM và DN nên F(s - s²/c, s)
Hệ số góc EF = -c/b, hệ số góc BC = -c/b
Vậy EF song song BC
b) Ta có AN = s
FN = s - s²/c = s(c - s)/c
FN.AB = b.s(c - s)/c = b.[bc/(b + c)].[c²/(b + c)]/c = b²c²/(b + c)² = s² = AN²
Vậy AN² = FN.AB
Gọi H = BN giao CM
Vì E thuộc BN nên EH trùng BN, F thuộc CM nên FH trùng CM
Ta có BN vuông góc AF, CM vuông góc AE
Vậy H là giao điểm hai đường cao của tam giác AEF, nên H là trực tâm của tam giác AEF
Bài 2.
Trong tam giác nhọn ABC, ta có:
AD/DH = tanB.tanC
BE/EH = tanC.tanA
CF/FH = tanA.tanB
Đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC
Vì A + B + C = 180° nên xyz = x + y + z
Chia hai vế cho xyz, ta được:
1/(yz) + 1/(zx) + 1/(xy) = 1
Đặt m = yz, n = zx, p = xy
Khi đó:
1/m + 1/n + 1/p = 1
Cần chứng minh:
m + 4n + 9p >= 36
Theo bất đẳng thức Cauchy:
(m + 4n + 9p)(1/m + 1/n + 1/p) >= (1 + 2 + 3)² = 36
Mà 1/m + 1/n + 1/p = 1
Suy ra m + 4n + 9p >= 36
Vậy AD/DH + 4.BE/EH + 9.CF/FH >= 36, điều phải chứng minh.