Bạn tự vẽ hình nha!

a, Xét \(\Delta HAD\) và \(\Delta ABD\) có:

Góc AHD = Góc DAB ( = 90 độ)

Góc ADB chung

=> \(\Delta HAD\) đông dạng\(\Delta ABD\) (g-g)

b, Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A có :

\(BD^2=AB^2+AD^2=20^2+15^2=625\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{625}=25\)

Ta có: \(\Delta HAD\) đồng dạng \(\Delta ABD\) (theo câu a)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{BD}\Leftrightarrow\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}\Rightarrow AH=12\)

c, Xét \(\Delta HDA\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat{AHD}=\widehat{AHB}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=\widehat{BAH}\) (cùng phụ với góc DAH )

\(\Rightarrow\Delta HDA\) đồng dạng \(\Delta HAB\) (g - g)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HD}{AH}\Rightarrow AH^2=HB.HD\)

a)  Xét  \(\Delta HAD\) và    \(\Delta ABD\)  có:

      \(\widehat{AHD}=\widehat{BAD}=90^0\)

     \(\widehat{BDA}\)  chung

suy ra:    \(\Delta HAD~\Delta ABD\)

b)   Áp dụng định lý Pytago ta có:

     \(BD^2=AD^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BD^2=15^2+20^2=625\)

\(\Leftrightarrow\)\(BD=\sqrt{625}=25\)cm

    \(\Delta HAD~\Delta ABD\)  \(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{BD}\) \(\Rightarrow\) \(AH=\frac{AB.AD}{BD}\)

hay      \(AH=\frac{20.15}{25}=12\)

P/s: tính AH áp dụng ngay hệ thức lượng cx đc

??????????????????????

A B C D M E F K H S I J

a) Bằng tính chất của hình bình hành và hệ quả ĐL Thales ta có: 

\(\frac{KM}{KH}=\frac{BF}{BC}=\frac{MF}{DC}=\frac{MF}{EF}\). Suy ra KF // EH (Theo ĐL Thales đảo) (đpcm).

b) Gọi giao điểm của EK và HF là S. Ta đi chứng minh B,D,S thẳng hàng. Thật vậy:

Gọi MS cắt EH và KF lần lượt ở I và J.

Theo bổ đề hình thang (cho hình thang KEHF) thì I là trung điểm EH và J là trung điểm KF

Do các tứ giác BKMF và DEMH là hình bình hành nên BD đi qua trung điểm của EH và KF 

Từ đó suy ra: 2 đường thẳng BD và MS trùng nhau hay 3 điểm B,D,S thẳng hàng => ĐPCM.

c) Dễ thấy: S_KEF = S_KHF (Chung đáy KF, cùng chiều cao vì KF//EH) => S_KME = S_FMH 

Mà S_MKAE = 2.S_KME; S_MHCF = 2.S_FMH nên S_MKAE = S_MHCF (đpcm).

Bổ đề: Xét tam giác ABC (BC = a, CA = b; AB = c). Nếu a² = b(b+c) thì ^BAC = 2^ABC.

A B C M

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho ^CAM = ^CBA. Khi đó \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB (g.g) => CA² = CM.CB

Hay b² = a.CM. Thay vào a² = b(b+c) ta được a² = a.CM + bc <=> a(a - CM) = bc

<=> a.BM = bc => BM = \(\frac{bc}{a}\). Cũng từ \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB suy ra \(\frac{AM}{BA}=\frac{CA}{CB}\)

Hay \(\frac{AM}{c}=\frac{b}{a}\)=> AM = \(\frac{bc}{a}\)= BM => \(\Delta\)AMB cân tại M => ^ABC = ^MAB = ^CAM = ^BAC/2

Quay trở lại bài toán:

A B C D

a) Ta có \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\Leftrightarrow\frac{CD+BD}{CD}-\frac{CD+BD}{BD}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BD}{CD}-\frac{CD}{BD}=1\Leftrightarrow\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{CD}-1=\frac{BC}{CD}\Rightarrow CD^2=BC.BD\)

\(\Rightarrow CD^2=BC\left(BC+CD\right)\) hoặc \(AC^2=BC\left(BC+AB\right)\)

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)ABC ta được ^ABC = 2^BAC. Do \(\Delta\)ABC cân tại A nên:

^BAC = 180⁰ - 2^ABC => ^BAC = 180⁰ - 4^BAC => 5^BAC = 180⁰ => ^BAC = 36⁰ . Vậy ...

b) Dễ có ^ACD = 108⁰ => ^CAD = ^CDA = 36⁰ => \(\Delta\)BAD cân tại D => BD = AD

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA: ^BAC = ^BDA (=36⁰), ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)BDA (g.g)

=> AB² = BC.BD = BC.AD (Vì BD = AD) (đpcm).

a: XétΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

Suy ra: BA/BH=BC/BA

hay \(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Xét ΔBAD có MN//AD
nên MN/AD=BM/BA(1)

Xét ΔBCA có MH//AC
nên MH/AC=BM/BA(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN/AD=MH/AC

hay MN/MH=AD/AC

a: Xét ΔBAD có BA=BD

nên ΔBAD cân tại B

Ta có: \(\hat{BAD}+\hat{CAD}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BDA}+\hat{HAD}=90^0\) (ΔHAD vuông tại H)

mà \(\hat{BAD}=\hat{BDA}\) (ΔBAD cân tại B)

nên \(\hat{CAD}=\hat{HAD}\)

=>AD là phân giác của góc HAC

b: Xét ΔAHD và ΔAED có

AH=AE

\(\hat{HAD}=\hat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔAHD=ΔAED

=>\(\hat{AHD}=\hat{AED}\)

=>\(\hat{AED}=90^0\)

=>ED⊥AC
mà HK⊥AC
nên HK//ED

=>HKED là hình thang

c: ΔAHD=ΔAED

=>DH=DE

=>D nằm trên đường trung trực của HE(1)

Ta có: AH=AE

=>A nằm trên đường trung trực của HE(2)

Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của HE

=>AD⊥HE

Xét ΔAEH có

HK,AD là các đường cao

HK cắt AD tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔAEH

=>EI⊥AH tại F

mà HC⊥HA

nên EF//HC

=>EFHC là hình thang

Hình thang EFHC có EF⊥FH

nên EFHC là hình thang vuông