a)  BD, CE là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DA = DC;   EA =EB

\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)ED // BC;  ED = 1/2 BC

\(\Delta GBC\)có   MG = MB;   NG = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC;   MN = 1/2 BC

suy ra:  MN // ED;    MN = ED

\(\Rightarrow\)tứ giác MNDE là hình bình hành

c) MN = ED = 1/2 BC

\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC

a) Xét tam giác EBD và tam giác ABC ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{EBD}-chung\\\widehat{DEB}=\widehat{BAC}\left(=90\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow|\Delta EBD~\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b) Từ 2 tam giác đồng dạng trên, ta có: \(\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BE.BC=BD.DA\left(dpcm\right)\)

c Xét tam giác BEA và tam giác BDC ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}\left(cmt\right)\\\widehat{B}-chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta BEA~\Delta BDC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BCD}\left(dpcm\right)\)

a: MNBA là hình bình hành

=>MN//BA và MN=BA

MNCB là hình bình hành

=>MN//BC và MN=BC

MN//BA

MN//BC

mà BA,BC có điểm chung là B

nên A,B,C thẳng hàng

b: Ta có: MN=BA

MN=BC

Do đó: BA=BC

=>B là trung điểm của AC
c: Để MNCA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAB}=\hat{NCA}\)

mà \(\hat{MAB}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NCB}=\hat{NBC}\)

=>NC=NB

mà NC=MB

và NB=MA

nên MB=MA

d: MNDC là hình bình hành

=>MN//CD và MN=CD

MN//CD

MN//CA

mà CD,CA có điểm chung là C

nên D,C,A thẳng hàng

Để hình thang MNDA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAD}=\hat{NDA}\)

mà \(\hat{MAD}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NDA}=\hat{NBC}\)

=>\(\hat{NDB}=\hat{NBD}\)

=>ND=NB

mà NB=MA và ND=MC

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MB là đường trung tuyến

nên MB⊥AC tại B

=>\(\hat{MBA}=90^0\)

a: MNBA là hình bình hành

=>MN//BA và MN=BA

MNCB là hình bình hành

=>MN//BC và MN=BC

MN//BA

MN//BC

mà BA,BC có điểm chung là B

nên A,B,C thẳng hàng

b: Ta có: MN=BA

MN=BC

Do đó: BA=BC

=>B là trung điểm của AC
c: Để MNCA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAB}=\hat{NCA}\)

mà \(\hat{MAB}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NCB}=\hat{NBC}\)

=>NC=NB

mà NC=MB

và NB=MA

nên MB=MA

d: MNDC là hình bình hành

=>MN//CD và MN=CD

MN//CD

MN//CA

mà CD,CA có điểm chung là C

nên D,C,A thẳng hàng

Để hình thang MNDA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAD}=\hat{NDA}\)

mà \(\hat{MAD}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NDA}=\hat{NBC}\)

=>\(\hat{NDB}=\hat{NBD}\)

=>ND=NB

mà NB=MA và ND=MC

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MB là đường trung tuyến

nên MB⊥AC tại B

=>\(\hat{MBA}=90^0\)

A B C M N P H F E 1

a) Xét \(\Delta ABN\)và \(\Delta ACP\)có:

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{BNA}=\widehat{CPA}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABN-\Delta ACP\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ABC\)có :

\(\frac{AN}{AP}=\frac{AB}{AC}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{A}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta ANP-\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{NP}{BC}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (điều phải chứng minh)

b) Xét \(\Delta PAH\)và \(\Delta MAB\)có:

\(\widehat{APH}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A_1}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta PAH-\Delta MAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)(2 cặp góc tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AM.AH=AP.AB\)(điều phải chứng minh)

(tiếp)  \(\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)\(\Rightarrow\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta PAM\)có:

\(\widehat{A_1}\)chung

\(\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta HAB-\Delta PAM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{APM}\)(cặp góc bằng nhau) (điều phải chứng minh)

c) Vì \(BN\perp AC\)(giả thiết) \(\Rightarrow\Delta NAB\)vuông tại N

Xét \(\Delta NAB\)vuông tại N có \(\widehat{NAB}=60^0\)(vì \(\widehat{CAB}=60^0\))

Do đó \(AN=\frac{AB}{2}\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}\)

Vì \(\Delta ANP-\Delta ABC\)(theo câu a))

\(\Rightarrow\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AN}{AB}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)(định lí tỉ số 2 tam giác đồng dạng)

Vậy \(\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\)

TL:

a,G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD =1/2 BG suy ra GM= GD

Tương tự EG=GN suy ra MNDE là hình bình hành

a) Trong tam giác ABC , có :

EA = EB ( CE là trung tuyến )

DA = DC ( DB là trung tuyến )

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC

=> ED // BC (1) , DE = 1/2 BC (2)

Trong tam giác GBC , có :

MG = MB ( gt)

NG = NC ( gt)

=> MN là đương trung bình của tam giác GBC

=> MN // BC (3) , MN = 1/2 BC (4)

Từ 1 và 2 => ED // MN ( * )

Từ 3 và 4 => ED = MN ( **)

Từ * và ** => EDMN là hbh ( DHNB )