Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(n^2>n\left(n-1\right)\)
khi 1 chia cho nó thì đổi dấu
\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
=> \(\frac12<\frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}\)
... tới: \(\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{2006\cdot2007}\)
thay vào biểu thức ban đầu ta có:
\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{2006\cdot2007}\)
=\(1-\frac12+\frac12-\frac13+.\ldots+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)
=\(1-\frac{1}{2007}\)
vì \(\frac{1}{2007}>0\Longrightarrow1-\frac{1}{2007}<1\)
vậy biểu thức < hơn 1
b) ta có vì tất cả số hạng trong biểu thức đều là các số dương lớn hơn 0
mà:
\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{3^2}\)
\(\frac{1}{4^4}<\frac{1}{4^2}\)
... tới \(\frac{1}{50^{50}}<\frac{1}{50^2}\)
thay vào biểu thức ta có:
\(A<\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}\)
mà ta có CM ở câu a)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<1\)
vậy 0< A<1 nên biểu thức ko thể là số tự nhiên
1.
\(a.\frac{1}{2}+a.\frac{1}{4}=-\frac{4}{5}\Rightarrow a.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{4}{5}\Rightarrow a=-\frac{16}{15}\)
2. Ta có:
\(A=\left(2\frac{5}{6}+1\frac{4}{9}\right):\left(10\frac{1}{12}-9\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{17}{6}+\frac{13}{9}\right):\left(\frac{121}{12}-\frac{19}{2}\right)=\frac{77}{18}:\frac{7}{12}=\frac{22}{3}\)
\(B=1\frac{5}{18}-\frac{5}{18}\left(\frac{1}{15}+1\frac{1}{3}\right)=\frac{23}{18}-\frac{5}{18}\left(\frac{1}{15}+\frac{4}{3}\right)=\frac{23}{18}-\frac{1}{54}-\frac{10}{27}=\frac{8}{9}\)
Có: \(\frac{22}{3}=\frac{66}{9}>\frac{8}{9}\Leftrightarrow A>B\)
bài 1:
ta có \(\frac{1}{1!}=1\)
\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)
bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:
\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)
... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)
thay vào biểu thức S
=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)
áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(S<2-\frac{1}{2012}\)
mà \(\frac{1}{2012}>0\)
=> \(S<2\)
bài 2:
Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)
=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)
\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)
\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)
... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A
\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)
vậy \(A<\frac{1}{9!}\)
Quy đồng mẫu trong tổng A:
Có 25 là luỹ thừa của 2 lớn nhất < 50. Ta chọn MSC = 25.3.5.7.9...49
Gọi a2; a3;...;a50 là các thừa số phụ tương ứng của 1/2; 1/3; ...; 1/50.
\(A=\frac{a_2+a_3+a_4+...+a_{50}}{2^5.3.5.7...49}\)
Nhận xét a2; a3;..; a31;.; a33; ...;a50 đều chứa thừa số 2 nên là các số chẵn , trừ số a32 là số lẻ nên tử số của A là số lẻ
mà mẫu số của A là số chẵn nên A tử không chia hết cho mẫu => A ko là số tự nhiên
Quy đồng mẫu trong tổng A:
Có 25 là luỹ thừa của 2 lớn nhất < 50. Ta chọn MSC = 25.3.5.7.9...49
Gọi a2; a3;...;a50 là các thừa số phụ tương ứng của 1/2; 1/3; ...; 1/50.
$A=\frac{a_2+a_3+a_4+...+a_{50}}{2^5.3.5.7...49}$A=a2+a3+a4+...+a5025.3.5.7...49
Nhận xét a2; a3;..; a31;.; a33; ...;a50 đều chứa thừa số 2 nên là các số chẵn , trừ số a32 là số lẻ nên tử số của A là số lẻ
mà mẫu số của A là số chẵn nên A tử không chia hết cho mẫu => A không là số tự nhiên
Ta có: \(A=1+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{11^2}+\cdots+\frac{1}{99^2}\)
Vì \(\frac{1}{6^2}>0;\frac{1}{11^2}>0;\ldots;\frac{1}{99^2}>0\) nên A > 1 (1)
Mặt khác, ta có:
\(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{11^2}+\ldots+\frac{1}{99^2}<\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots\ldots+\frac{1}{99^2}\)
Mà
+) \(\frac{1}{2^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2}\)
+) \(\frac{1}{3^2} < \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
+) ...
+) \(\frac{1}{99^2} < \frac{1}{98 \cdot 99} = \frac{1}{98} - \frac{1}{99}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{99^2}<\frac{1}{98 \cdot99}=\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{99^2}<1-\frac{1}{99}<1\)
Do đó, \(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{11^2}+\ldots+\frac{1}{99^2}<1\)
\(\Rightarrow A < 1 + 1\)
=> A < 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2
=> A là không phải là một số tự nhiên.
Biểu thức A không phải là một số tự nhiên.
xxhb36
xxhb36
- Mỗi số hạng đều có dạng 1/n^2 với n là số tự nhiên kết thúc bằng 1, 6, hoặc 11, 16, … cho đến 99.
- Tất cả các số hạng đều nhỏ hơn 1, nên tổng của chúng chắc chắn nhỏ hơn số lượng các số hạng.
- Vì mẫu số là bình phương của các số lớn, giá trị của từng phân số rất nhỏ.
Tổng A là một số hữu tỉ nhỏ hơn 1, không thể là số tự nhiên (vì số tự nhiên nhỏ nhất là 1).=> Biểu thức A không phải là số tự nhiên.