\(\sqrt[n]{y}=4x+1\)

\(y^{\dfrac{1}{n}}=4x+1\)

đạo cấp 1

\(\dfrac{1}{n}y^{\left(\dfrac{1}{n}-1\right)}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{y^{\left(1-n\right)}}=4\)

thay y=(4x+1)^n vào

\(\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\left(4x+1\right)^{n\left(1-n\right)}}=\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}\)

từ đó: \(y'=\dfrac{4}{\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}}=4.n\left(4x+1\right)^{n-1}\)

Có đúng không: cấp n có thể phải làm lấy vài cái--> quy luật nào đó

a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2\)

Vậy hàm số \(y = {x^3}\) có đạo hàm là hàm số \(y' = 3{x^2}\)

b) \(y' = \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

\(x'\cdot\left(x+2\right)^3+x\left[\left(x+2\right)^3\right]'\)

\(=1\cdot\left(x+2\right)^3+x\cdot3\left(x+2\right)^2+\left(x+2\right)'\)

\(=\left(x+2\right)^3+3x\left(x+2\right)^2\)

\(=\left(x+2\right)^2\left(4x+2\right)\)

Ta xét bảng sau đây :

x 1 2 x-1 2 x-2 f(x) 1-x 4-2x 5-3x x-1 4-2x 3-x x-1 2x-4 3x-5

Ta có ngay với \(x\ne1\) và \(x\ne2\)

\(f'\left(x\right)=\begin{cases}-3;x< 1\\-1;1< x< 2\\3;x>2\end{cases}\)

Bây giờ xét tại \(x=1\), ta có

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{3-\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{5-3\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{-3\Delta x}{\Delta x}=-3\)

Như vậy \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\)

Nghĩa là không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=1\)

Tương tự không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\)

xét hàm số y=\(x.e^x.lnx\)

Ta có y' =\(e^xlnx+xe^xlnx+xe^x.\frac{1}{x}\)

             =\(e^xlnx+xe^xlnx+e^x\left(1+lnx+x.lnx\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).

\(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{\sqrt{2x+10}-\sqrt[3]{x+11}}{x^3+27}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{\sqrt{2x+10}-2+2-\sqrt[3]{x+11}}{x^3+27}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{\frac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{2x+10}+2}+\frac{-3-x}{4+2\sqrt[3]{x+11}+\sqrt[3]{\left(x+11\right)^2}}}{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}\)

=> \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}S=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{\frac{2}{\sqrt{2x+10}+2}-\frac{1}{4+2\sqrt[3]{x+11}+\sqrt[3]{\left(x+11\right)^2}}}{x^2-3x+9}=\frac{5}{324}\)

Lời giải:

Em không rõ ở phần tìm đạo hàm theo định nghĩa (lim) hay tìm đạo hàm dựa theo công thức

Thông thường lớp 11 thì thường áp dụng luôn công thức

Áp dụng công thức: \((u^{\alpha})'=\alpha.u'.u^{\alpha-1}\) thì:

\(y=(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow y'=\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1})'(x+\sqrt{x^2+1})^{\frac{1}{2}-1}\)

\(=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}(*)\)

\((x+\sqrt{x^2+1})'=x'+(\sqrt{x^2+1})'=1+((x^2+1)^{\frac{1}{2}})'\)

\(=1+\frac{1}{2}(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\)

\(=1+\frac{1}{2}.2x.\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow y'=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}.2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}}\)

ta có : \(y'=\left(\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'\)