Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách giải:

lần lượt là các VTCP của   d 1   và  d 2  

Ta có 

Quỹ tích d là hình trụ dài vô tận có trục là Oz và bán kính \(R=3\)

Khoảng cách từ A đến d là lớn nhất khi d đi qua giao điểm của đường thẳng d' và trụ, trong đó d' qua A, cắt đồng thời vuông góc Oz

\(\Rightarrow\) A đúng

Đáp án B

Phương trình của mặt phẳng (P) là 3(x-0)+2(y-0)+1(z-0)=0<=> 3x+2y+z=0.

z C B O A D y S x M N

a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :

\(C=\left(-2;0;0\right)\)

\(D=\left(0;-1;0\right)\)

Từ đó M là trung điểm của SC nên :

\(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)

Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :

\(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(\alpha=60^0\)

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\)  (1)

Theo công thức  xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)

                  \(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)

Thay vào (1) ta có :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD

\(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)

Dễ thấy :

\(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)

              \(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\)    (2)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)

Ta lại có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)

\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)

Thay vào (2) được :

\(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)

Chọn A

Vì đường thẳng Δ đi qua điểm A (0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì Δ song song với trục Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz. Dễ thấy OA là đường vuông góc chung của Δ và Ox

Xét mặt phẳng (α) đi qua I (0;0;1/2) và là mặt phẳng trung trực của OA.

Khi đó Δ // (α), Ox // (α) và mọi điểm nằm trên (α) có khoảng cách đến Δ và Ox là bằng nhau.

Vậy tập hợp điểm C là các điểm cách đều đường thẳng Δ và trục Ox là mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) đi qua I (0;0;1/2) có véc tơ pháp tuyến là  nên có phương trình:

Đoạn BC nhỏ nhất khi C là hình chiếu vuông góc của B lên (α). Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B (0;4;0) tới điểm C chính là khoảng cách từ B (0;4;0) đến mặt phẳng (α):

Đáp án B.

Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d.Phương trình của 

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc cùa A trên ∆,(P)

Ta có: K(-3;-2;-1), 

 Vậy khoảng cách từ A đến  bé nhất khi A đi qua M,K.

∆ có vectơ chỉ phương 

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là : 

\(h=d_{\left(A,\left(P\right)\right)}=\frac{\left|1.2+\left(-2\right).\left(-2\right)+2.1+5\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=4\)

Gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện thì ta có \(2\pi r=6\pi\Rightarrow r=3\)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có : \(R^2=h^2+r^2=4^2+3^2=25\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là : \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=25\)

Đáp án A.

Ta có: