Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
là số hữu tỉ nên sẽ sẽ có dạng \(\frac{a-b\sqrt{2}}{b-c\sqrt{2}}=\frac{m}{n}< =>an-bn\sqrt{2}=bm-cm\sqrt{2}< =>\)
an-bm=\(\sqrt{2}\)(bn-cm)
an-bm là số nguyên; nên \(\sqrt{2}\left(bn-cm\right)\)là số nguyên => bn-cm=0 => an-bm=0
ta có bn=cm; bm=an => b2mn = cman <=> b2 =ac
\(a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+2ac+b^2=\left(a+c\right)^2-2b^2+b^2=\)\(\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)(1)
dễ thấy a+c-b>a+c+b nên để (1) là số nguyên tố thì a+c-b=1 => a2+b2+c2 =a+b+c
<=> a(a-1)+b(b-1)+c(c-1) = 0 => a=b=c=1
thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài => a=b=c=1
Sửa lại một chút: a2+b2+c2 =a2+c2+2ac -2ac+b2 =(a+c)2-2ac+b2
\(A=n^4-16n^2+64+36=n^4+20n^2+100-36n^2=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(n^2+6n+10\right)\left(n^2-6n+10\right)\)
A là số nguyên tố và \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\) với mọi n nguyên dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=A\end{cases}}\). Đến đây đơn giản rồi nhỉ
Bài 1:
Ta có: \(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
Nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\left(1\right)\).Ta cũng có:
\(a^2-2ac+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)
Nên \(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\left(2\right)\), tương tự ta cũng có \(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)
\(\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}=4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8c\)
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2c\)
\(B=\frac{ab}{a+b+2}\Rightarrow2B=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Do a ; b không âm , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta có :
\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow a+b-2\le\sqrt{8}-2\)
\(\Rightarrow2B\le\sqrt{8}-2\Rightarrow B\le\sqrt{2}-1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Do x ; y không âm , \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\left|x\right|;\left|y\right|\le1\) \(\Rightarrow0\le x;y\le1\)
\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2=1\)
\(x,y\ge0\Rightarrow xy\ge0\)
Ta có : \(A=\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}\)
\(\Rightarrow A^2=5x+4+5y+4+2\sqrt{\left(5x+4\right)\left(5y+4\right)}\)
\(=5\left(x+y\right)+8+2\sqrt{25xy+20y+20x+16}\)
\(\ge5.1+8+2\sqrt{25.0+20.1+16}=13+2.6=25\)
\(\Rightarrow A\ge5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2=4\)
\(P=\frac{x^3}{x+3y}+\frac{y^3}{y+3z}+\frac{z^3}{z+3x}=\frac{x^4}{x^2+3xy}+\frac{y^4}{y^2+3yz}+\frac{z^4}{z^2+3zx}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{4^2}{4+3.4}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Ta có:
\(p = \sqrt{\frac{a^{2} - 4}{b^{2} - 1}} , a , b \in \mathbb{Z}^{+}\)
Bình phương hai vế:
\(p^{2} = \frac{a^{2} - 4}{b^{2} - 1}\)
Suy ra:
\(a^{2} - 4 = p^{2} \left(\right. b^{2} - 1 \left.\right)\) \(a^{2} = p^{2} b^{2} - p^{2} + 4\)
Chuyển vế:
\(a^{2} - p^{2} b^{2} = 4 - p^{2}\) \(\left(\right. a - p b \left.\right) \left(\right. a + p b \left.\right) = 4 - p^{2}\)
Xét các số nguyên tố p:
1) p = 2
\(4 - p^{2} = 0 \Rightarrow \left(\right. a - 2 b \left.\right) \left(\right. a + 2 b \left.\right) = 0\)
⇒ \(a = 2 b\)
Kiểm tra:
✔ p = 2 thỏa mãn
rồi sao (với \(p\ge2\) thì sao)