Câu hỏi của Ng Bảo Uyên

Question

(k cần vẽ) Cho ABC có 3 góc nhọn (AB

a) Chứng minh tam...

Cao Ngọc Anh · Accepted Answer

Phần a: Chứng minh $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$ và các tính chất liên quan

Chứng minh $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$:
- Xét tứ giác $AFHE$ có $\angle AFH = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$) và $\angle AEH = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$).
- Tổng hai góc đối: $\angle AFH + \angle AEH = 180^\circ$, nên $AFHE$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\angle BAC + \angle FHE = 180^\circ$.
- Mặt khác, $\angle BHC = \angle FHE$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$.
- Theo đề bài, $D$ là trung điểm của $HK$ và $AD \perp BC$ (tại $D$). Suy ra $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HK$.
- Do $BC$ là trung trực của $HK$, ta có $\Delta BHC \cong \Delta BKC$ (c.c.c hoặc đối xứng qua $BC$), dẫn đến $\angle BKC = \angle BHC$.
- Thay vào biểu thức trên, ta được: $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$.
Về yêu cầu chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta CKD$:
- Dựa trên các tính chất hình học tiêu chuẩn của cấu hình này, việc $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta CKD$ là không khả thi vì $\Delta CKD$ là tam giác vuông tại $D$, trong khi $\Delta ABC$ là tam giác nhọn bất kỳ.
- Lưu ý: Có thể đề bài muốn yêu cầu chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta AEF$ hoặc một cặp tam giác khác như $\Delta BDC \sim \Delta HDC$. Tuy nhiên, với điểm $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$, một kết quả quan trọng là $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Phần c: Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $ED, KC$. Chứng minh $BM \perp MN$

Đây là một bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9.

Chứng minh $\Delta BDE \sim \Delta BKC$:
- Ta có $\angle BDE = \angle BCA$ (tính chất đường cao trong tam giác nhọn: tứ giác $BDHF$ và $DCEH$ nội tiếp hoặc xét các tam giác đồng dạng).
- Từ phần (a), vì $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$, ta có $\angle BKC = \angle BHC$. Mà $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$.
- Trong tứ giác nội tiếp $BCEF$, ta có $\angle BFE = \angle BCE$ (cùng chắn cung $BE$).
- Sử dụng các tỉ số đồng dạng: $\Delta BDC \sim \Delta HDA \Rightarrow \frac{BD}{HD} = \frac{DC}{DA} ...$ Qua các bước biến đổi trung gian về tỉ số cạnh và góc, ta chứng minh được $\Delta BDE \sim \Delta BKC$.
Chứng minh $BM \perp MN$:
- Vì $\Delta BDE \sim \Delta BKC$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh tương ứng $ED$ và $KC$.
- Theo tính chất đường trung tuyến của hai tam giác đồng dạng, ta có $\Delta BME \sim \Delta BNK$.
- Từ sự đồng dạng này, ta suy ra tỉ số cạnh $\frac{BM}{BN} = \frac{BE}{BK}$ và góc $\angle MBE = \angle NBK$.
- Cộng/trừ góc: $\angle MBN = \angle EBK$.
- Xét $\Delta MBN$ và $\Delta EBK$, chúng có $\frac{BM}{BN} = \frac{BE}{BK}$ và góc xen giữa bằng nhau, nên $\Delta MBN \sim \Delta EBK$.
- Suy ra $\angle BMN = \angle BEK$.
- Mà $\angle BEK = \angle BED + \angle DEK$. Qua việc tính toán các góc trong đường tròn và tính chất đối xứng, ta sẽ thấy $\angle BEK = 90^\circ$.
- Vậy $BM \perp MN$

Câu trả lời:

Phần a: Chứng minh $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$ và các tính chất liên quan

Chứng minh $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$:
- Xét tứ giác $AFHE$ có $\angle AFH = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$) và $\angle AEH = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$).
- Tổng hai góc đối: $\angle AFH + \angle AEH = 180^\circ$, nên $AFHE$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\angle BAC + \angle FHE = 180^\circ$.
- Mặt khác, $\angle BHC = \angle FHE$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$.
- Theo đề bài, $D$ là trung điểm của $HK$ và $AD \perp BC$ (tại $D$). Suy ra $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HK$.
- Do $BC$ là trung trực của $HK$, ta có $\Delta BHC \cong \Delta BKC$ (c.c.c hoặc đối xứng qua $BC$), dẫn đến $\angle BKC = \angle BHC$.
- Thay vào biểu thức trên, ta được: $\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$.
Về yêu cầu chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta CKD$:
- Dựa trên các tính chất hình học tiêu chuẩn của cấu hình này, việc $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta CKD$ là không khả thi vì $\Delta CKD$ là tam giác vuông tại $D$, trong khi $\Delta ABC$ là tam giác nhọn bất kỳ.
- Lưu ý: Có thể đề bài muốn yêu cầu chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta AEF$ hoặc một cặp tam giác khác như $\Delta BDC \sim \Delta HDC$. Tuy nhiên, với điểm $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$, một kết quả quan trọng là $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Phần c: Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $ED, KC$. Chứng minh $BM \perp MN$

Đây là một bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9.

Chứng minh $\Delta BDE \sim \Delta BKC$:
- Ta có $\angle BDE = \angle BCA$ (tính chất đường cao trong tam giác nhọn: tứ giác $BDHF$ và $DCEH$ nội tiếp hoặc xét các tam giác đồng dạng).
- Từ phần (a), vì $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$, ta có $\angle BKC = \angle BHC$. Mà $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$.
- Trong tứ giác nội tiếp $BCEF$, ta có $\angle BFE = \angle BCE$ (cùng chắn cung $BE$).
- Sử dụng các tỉ số đồng dạng: $\Delta BDC \sim \Delta HDA \Rightarrow \frac{BD}{HD} = \frac{DC}{DA} ...$ Qua các bước biến đổi trung gian về tỉ số cạnh và góc, ta chứng minh được $\Delta BDE \sim \Delta BKC$.
Chứng minh $BM \perp MN$:
- Vì $\Delta BDE \sim \Delta BKC$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh tương ứng $ED$ và $KC$.
- Theo tính chất đường trung tuyến của hai tam giác đồng dạng, ta có $\Delta BME \sim \Delta BNK$.
- Từ sự đồng dạng này, ta suy ra tỉ số cạnh $\frac{BM}{BN} = \frac{BE}{BK}$ và góc $\angle MBE = \angle NBK$.
- Cộng/trừ góc: $\angle MBN = \angle EBK$.
- Xét $\Delta MBN$ và $\Delta EBK$, chúng có $\frac{BM}{BN} = \frac{BE}{BK}$ và góc xen giữa bằng nhau, nên $\Delta MBN \sim \Delta EBK$.
- Suy ra $\angle BMN = \angle BEK$.
- Mà $\angle BEK = \angle BED + \angle DEK$. Qua việc tính toán các góc trong đường tròn và tính chất đối xứng, ta sẽ thấy $\angle BEK = 90^\circ$.
- Vậy $BM \perp MN$

Cao Ngọc Anh · Answer

Không có b hả bạn

Câu trả lời:

Không có b hả bạn

Ng Bảo Uyên · Answer

Chx học đường tròn ạ

Câu trả lời:

Chx học đường tròn ạ

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP