Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CÁC BN GIÚP MK VS NHA !!!!! MK DAG CẦN CỰC KỲ GẤP ĐÓ Ạ , AI GIẢI DC HẾT CHỖ NÀY SẼ DC K 3 CÁI ĐÓ Ạ !!!! CÁM ƠN MỌI NGƯỜI TRƯỚC Ạ ^^
\(a)\) Ta có :
\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(2A-A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(A=1-\frac{1}{2^{100}}< 1\)
Vậy \(A< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
Sorry bạn nha , mình bấm nhầm nút
\(A=\frac{5}{4}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(A< \frac{5}{4}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(A< \frac{5}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(A< \frac{5}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{5}{4}+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}\)
\(\Rightarrow\)\(A< \frac{7}{4}\)
Vậy , \(\frac{5}{4}< A< \frac{7}{4}\left(ĐPCM\right)\)
BÀI KHÓ CỦA TRƯỜNG MÌNH ĐÓ THI HK2
GIÚP MÌNH NHÉ!!!!!!THANKS!!!!!!
Bài 1:
C = 1/101 + 1/102 + 1/103 + ... + 1/200
Có:
C < 1/101 + 1/101 + 1/101 + ... + 1/101
C < 100 . 1/101
C < 100/101
Mà 100/101 < 1
=> C < 1 (1)
Có:
C > 1/200 + 1/200 + 1/200 + ... + 1/200
C > 100 . 1/200
C > 1/2 (2)
Từ (1) và (2)
=> 1/2<C<1
Ủng hộ nha mk làm tiếp
\(S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{49.50}< 1\)
\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}< 1\)
\(S=1-\frac{1}{50}< 1\)
\(S=\frac{49}{50}< 1\left(đpcm\right)\)
Gọi biểu thức phân số đó là A
Ta thấy
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
......................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{99.100}\)
Ta có công thức : \(\frac{a}{b.c}=\frac{a}{c-b}.\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)
Dựa vào công thức trên ta có
\(A< 1.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1.\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{99}{100}\)
Mà \(\frac{99}{100}< 1\)
\(A< \frac{99}{100}< 1\Rightarrow A< 1\Rightarrow dpcm\)
ủng hộ nha
ta có \(x^2=x.x\le\left(x-1\right)x\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}< \frac{1}{\left(x-1\right)x}\)và\(\frac{1}{\left(x-1\right)x}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\)Vậy ta có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}\)<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{99.100}=\)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)=1-\(\frac{1}{100}\le1\)
vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}< 1\left(đpcm\right)\)
ta có công thức dùng khá nhiều trong mấy bài kiểu này:
\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\)
ta thay vào có:
\(\frac{1}{2^2}=\frac14\) ( riêng cái này ko tách để mấy cái hạng tử kia tạo chung nha)
\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)
\(\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3\cdot4}=\frac13-\frac14\)
...
\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99\cdot100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
thay lại vào A ta có
\(A<\frac14+\left(\frac12-\frac12+\frac13-\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(A<\frac14+\frac12-\frac{1}{100}\)
\(A<\frac34-\frac{1}{100}\)
mà \(\frac34-\frac{1}{100}<\frac34\)
=> \(A<\frac34\)
Gọi A
Ta có công thức:
\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1).n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
Ta lại có:
+) \(\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
+) \(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}\)
+) \(\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4}\)
+) ....
+) \(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)
Áp dụng công thức vao phương trình, ta có:
\(A<\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{99.100}\right)\)
\(A<\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(A<\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)\)
\(A<\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\)
\(A<\frac{3}{4}-\frac{1}{100}\)
=> \(A<\frac{3}{4}-\frac{1}{100}\)
ko in đậm
Chào bạn, đây là một bài toán rất quen thuộc về dãy số lớp 6. Để chứng minh tổng này nhỏ hơn 3/4, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chặn trên bằng một dãy số có thể triệt tiêu (dãy số kiểu "tổng - hiệu").
Cách giải:
Ta giữ nguyên số hạng đầu tiên là 1/2^2 và bắt đầu chặn từ số hạng thứ hai trở đi.
Ta có nhận xét: 1/n^2 < 1/((n-1)n) = 1/(n-1) - 1/n
Áp dụng vào bài toán:
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/100^2 < (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/99 - 1/100)
1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/100^2 < 1/2 - 1/100 < 1/2
Khi đó, tổng A ban đầu sẽ là:
A = 1/2^2 + (1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/100^2) < 1/4 + 1/2
A < 1/4 + 2/4 = 3/4
Vậy 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/100^2 < 3/4 (Điều phải chứng minh).
Công thức tổng quát để bạn ôn tập:
Dạng bài này thường dùng phương pháp "tách phân số để triệt tiêu". Bạn nhớ 2 công thức vàng này nhé:
1/n^2 < 1/((n-1)n) = 1/(n-1) - 1/n
1/n^2 > 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
Mẹo nhỏ: Nếu đề bài yêu cầu chứng minh nhỏ hơn một số khá "sát" (như 3/4 ở trên), bạn hãy giữ lại 1 hoặc 2 số hạng đầu tiên, rồi mới bắt đầu áp dụng công thức cho các số hạng còn lại.