Câu hỏi của phong nguyen

Question

đề bài hình mik vừa thi xong muốn chia sẻ và tham khảo lời giải ý 2 của mọi người

bài 4: cho △ABC vuông tại A có AH là đường cao; gọi I;K lần lượt là hình chiếu trên các cạ...

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: Xét tứ giác AIHK có $\hat{AIH}=\hat{AKH}=\hat{KAI}=90^0$

nên AIHK là hình chữ nhật

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

$\hat{HBA}$ chung

Do đó; ΔBHA~ΔBAC

=>$\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}$

=>$BH\cdot BC=BA^2$

b: AIHK là hình chữ nhật

=>$\hat{AKI}=\hat{AHI}$

mà $\hat{AHI}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)$

nên $\hat{AKI}=\hat{ABC}$

Xét ΔAKI vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

$\hat{AKI}=\hat{ABC}$

Do đó: ΔAKI~ΔABC

c: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}$

$\hat{MAC}+\hat{AKI}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0$

=>AM⊥KI

Câu trả lời:

a: Xét tứ giác AIHK có $\hat{AIH}=\hat{AKH}=\hat{KAI}=90^0$

nên AIHK là hình chữ nhật

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

$\hat{HBA}$ chung

Do đó; ΔBHA~ΔBAC

=>$\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}$

=>$BH\cdot BC=BA^2$

b: AIHK là hình chữ nhật

=>$\hat{AKI}=\hat{AHI}$

mà $\hat{AHI}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)$

nên $\hat{AKI}=\hat{ABC}$

Xét ΔAKI vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

$\hat{AKI}=\hat{ABC}$

Do đó: ΔAKI~ΔABC

c: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}$

$\hat{MAC}+\hat{AKI}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0$

=>AM⊥KI

Cao Ngọc Anh · Answer

Có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn ở ý (a) về hệ thức lượng và ý (c) về điểm $D$ (có thể $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$). Mình sẽ giải dựa trên các tính chất chuẩn của hình học lớp 9 nhé.

Giải bài 4 Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $I, K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB, AC$. $IK$ cắt $AH$ tại $O$. a) CM: Tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật và $AH^2 = BH \cdot HC$ (Lưu ý: Đề ghi $AB^2 = BH \cdot HC$ là chưa chính xác, hệ thức đúng phải là $AH^2 = BH \cdot HC$)

Chứng minh $AIHK$ là hình chữ nhật:
- Ta có: $\angle BAC = 90^\circ$ (giả thiết $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
- $HI \perp AB$ tại $I \Rightarrow \angle AIH = 90^\circ$.
- $HK \perp AC$ tại $K \Rightarrow \angle AKH = 90^\circ$.
- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy $AIHK$ là hình chữ nhật.
Chứng minh $AH^2 = BH \cdot HC$:
- Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $AH^2 = BH \cdot HC$ (đpcm).

b) CM: $\triangle AIK \sim \triangle ACB$

Vì $AIHK$ là hình chữ nhật (cmt) nên hai đường chéo $AH$ và $IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra $O$ là trung điểm $AH$ và $IK$, đồng thời $OA = OI = OH = OK$.
$\triangle OAK$ cân tại $O \Rightarrow \angle OAK = \angle OKA$.
Mặt khác, trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có $\angle HAB = \angle ACB$ (cùng phụ với $\angle HAC$).
Mà $\angle OAK$ chính là $\angle HAC$, và trong tam giác vuông $AHB$ có $\angle HAB = \angle HBA$.
Xét $\triangle AIK$ và $\triangle ACB$:
- $\angle A$ chung.
- $\angle AIK = \angle AHK$ (cùng chắn cung $AK$ trong đường tròn ngoại tiếp $AIHK$).
- Mà $\angle AHK = \angle ACB$ (cùng phụ với $\angle KHC$).
- Suy ra $\angle AIK = \angle ACB$.
Vậy $\triangle AIK \sim \triangle ACB$ (g.g).

c) CM: $AM \perp IK$ và $\frac{1}{AD} = \frac{1}{BH} + \frac{1}{HC}$ (Giả sử $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$)

Chứng minh $AM \perp IK$:
- Gọi $M$ là trung điểm $BC$, trong tam giác vuông $ABC$, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC$.
- $\triangle AMC$ cân tại $M \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA$ (hay $\angle ACB$).
- Từ câu (b), ta có $\triangle AIK \sim \triangle ACB \Rightarrow \angle AKI = \angle ABC$.
- Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$. Trong $\triangle ADK$:
  $\angle DAK + \angle DKA = \angle MAC + \angle AKI = \angle ACB + \angle ABC = 90^\circ$.
- $\Rightarrow \angle ADK = 90^\circ$. Vậy $AM \perp IK$ tại $D$.
Về hệ thức $\frac{1}{AD} = \frac{1}{BH} + \frac{1}{HC}$:
Hệ thức này thường xuất hiện trong các bài toán nâng cao liên quan đến độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông. Để chứng minh chính xác ý này, cần xác định rõ vị trí điểm $D$ trong đề bài gốc của bạn. Nếu $D$ là hình chiếu của $A$ lên một đường thẳng đặc biệt, ta sẽ sử dụng nghịch đảo bình phương đường cao. Tuy nhiên, với dữ kiện $AM \perp IK$ tại $D$, bạn có thể sử dụng tính chất diện tích hoặc tam giác đồng dạng để biến đổi về các đoạn $BH, HC$

Câu trả lời: Có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn ở ý (a) về hệ thức lượng và ý (c) về điểm $D$ (có thể $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$). Mình sẽ giải dựa trên các tính chất chuẩn của hình học lớp 9 nhé.

Giải bài 4 Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $I, K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB, AC$. $IK$ cắt $AH$ tại $O$. a) CM: Tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật và $AH^2 = BH \cdot HC$ (Lưu ý: Đề ghi $AB^2 = BH \cdot HC$ là chưa chính xác, hệ thức đúng phải là $AH^2 = BH \cdot HC$)

Chứng minh $AIHK$ là hình chữ nhật:
- Ta có: $\angle BAC = 90^\circ$ (giả thiết $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
- $HI \perp AB$ tại $I \Rightarrow \angle AIH = 90^\circ$.
- $HK \perp AC$ tại $K \Rightarrow \angle AKH = 90^\circ$.
- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy $AIHK$ là hình chữ nhật.
Chứng minh $AH^2 = BH \cdot HC$:
- Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $AH^2 = BH \cdot HC$ (đpcm).

b) CM: $\triangle AIK \sim \triangle ACB$

Vì $AIHK$ là hình chữ nhật (cmt) nên hai đường chéo $AH$ và $IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra $O$ là trung điểm $AH$ và $IK$, đồng thời $OA = OI = OH = OK$.
$\triangle OAK$ cân tại $O \Rightarrow \angle OAK = \angle OKA$.
Mặt khác, trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có $\angle HAB = \angle ACB$ (cùng phụ với $\angle HAC$).
Mà $\angle OAK$ chính là $\angle HAC$, và trong tam giác vuông $AHB$ có $\angle HAB = \angle HBA$.
Xét $\triangle AIK$ và $\triangle ACB$:
- $\angle A$ chung.
- $\angle AIK = \angle AHK$ (cùng chắn cung $AK$ trong đường tròn ngoại tiếp $AIHK$).
- Mà $\angle AHK = \angle ACB$ (cùng phụ với $\angle KHC$).
- Suy ra $\angle AIK = \angle ACB$.
Vậy $\triangle AIK \sim \triangle ACB$ (g.g).

c) CM: $AM \perp IK$ và $\frac{1}{AD} = \frac{1}{BH} + \frac{1}{HC}$ (Giả sử $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$)

Chứng minh $AM \perp IK$:
- Gọi $M$ là trung điểm $BC$, trong tam giác vuông $ABC$, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC$.
- $\triangle AMC$ cân tại $M \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA$ (hay $\angle ACB$).
- Từ câu (b), ta có $\triangle AIK \sim \triangle ACB \Rightarrow \angle AKI = \angle ABC$.
- Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và $IK$. Trong $\triangle ADK$:
  $\angle DAK + \angle DKA = \angle MAC + \angle AKI = \angle ACB + \angle ABC = 90^\circ$.
- $\Rightarrow \angle ADK = 90^\circ$. Vậy $AM \perp IK$ tại $D$.
Về hệ thức $\frac{1}{AD} = \frac{1}{BH} + \frac{1}{HC}$:
Hệ thức này thường xuất hiện trong các bài toán nâng cao liên quan đến độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông. Để chứng minh chính xác ý này, cần xác định rõ vị trí điểm $D$ trong đề bài gốc của bạn. Nếu $D$ là hình chiếu của $A$ lên một đường thẳng đặc biệt, ta sẽ sử dụng nghịch đảo bình phương đường cao. Tuy nhiên, với dữ kiện $AM \perp IK$ tại $D$, bạn có thể sử dụng tính chất diện tích hoặc tam giác đồng dạng để biến đổi về các đoạn $BH, HC$

phong nguyen · Answer

c) ý 2: xét hcn HIAK có:

IK=AH

O là trung điểm=> OI=OK;AO=OH

mà DI+DK=IK VÀ AD+DH=AH

=> ID=AD

=> góc DIA= góc DAI

xét △IDA và △AHB có:

góc DIA= góc DAI

góc ADI= góc AIH= 90 độ

=> △IDA~△AHB(g.g)

=> $\frac{AD}{HB}=\frac{AI}{AB}$ (1)

xét △ABC có AM là đường trung tuyến với góc A =90 độ

=> $AM=\frac12BC=MC=BM$

=> △AMC cân tại M

=> góc DAK= góc HCA

xét △ADK và △CHA có:

góc DAK= góc HCA

góc ADK=góc AHC= 90 độ

=> △ADK~△CHA(g.g)

=> $\frac{AD}{HC}=\frac{AK}{AC}$

Mà AK= IH( do tứ giác HIAK là hcn)

=> $\frac{AD}{HC}=\frac{IH}{AC}$

Mà AK//IH

=> $\frac{IH}{AC}=\frac{BI}{AB}$

=> $\frac{AD}{HC}=\frac{BI}{AB}$ (2)

cộng hai vế (1) và (2) lại với nhau:

$\frac{AD}{HC}+\frac{AD}{HB}=\frac{BI}{AB}+\frac{AI}{AB}$

$AD\left(\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\right)=\frac{\left(AI+IB\right)}{AB}=1$

=> $\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}=\frac{1}{AD}$

chúc các bạn học tốt! mik vừa mới tìm dc lời giải