Câu hỏi của nhi võ

Question

Bài 23( 1 điểm): Chứng minh rằng: Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh
bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông.

Nguyễn Gia Bảo · Accepted Answer

Để chứng minh định lý: "Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông", chúng ta có thể làm như sau:

Bài giải: Giả sử tam giác $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ (với $M \in BC$) và thỏa mãn điều kiện $AM = \frac{1}{2} BC$. 1. Thiết lập giả thiết:

$M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC = \frac{1}{2} BC$.
Theo giả thiết: $AM = \frac{1}{2} BC$.
Suy ra: $AM = MB = MC$.

2. Chứng minh:

Xét tam giác $MAB$:
- Có $MA = MB$ (theo chứng minh trên).
- Do đó, $\triangle MAB$ cân tại $M$.
- Suy ra các góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ (hay $\widehat{B}$).
Xét tam giác $MAC$:
- Có $MA = MC$ (theo chứng minh trên).
- Do đó, $\triangle MAC$ cân tại $M$.
- Suy ra các góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{C}$).
Xét tam giác $ABC$:
- Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ }$:
  $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ }$
- Mà góc $\widehat{A} = \widehat{MAB} + \widehat{MAC}$. Thay các kết quả trên vào, ta có:
  $(\widehat{MAB}+\widehat{MAC})+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ }$$\widehat{A}+(\widehat{MAB}+\widehat{MAC})=180^{\circ }$$2\cdot \widehat{A}=180^{\circ }$$\widehat{A}=90^{\circ }$

3. Kết luận:
Vì góc $\widehat{A} = 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (đpcm).Câu trả lời: Để chứng minh định lý: "Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông", chúng ta có thể làm như sau:

Bài giải: Giả sử tam giác $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ (với $M \in BC$) và thỏa mãn điều kiện $AM = \frac{1}{2} BC$. 1. Thiết lập giả thiết:

$M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC = \frac{1}{2} BC$.
Theo giả thiết: $AM = \frac{1}{2} BC$.
Suy ra: $AM = MB = MC$.

2. Chứng minh:

Xét tam giác $MAB$:
- Có $MA = MB$ (theo chứng minh trên).
- Do đó, $\triangle MAB$ cân tại $M$.
- Suy ra các góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ (hay $\widehat{B}$).
Xét tam giác $MAC$:
- Có $MA = MC$ (theo chứng minh trên).
- Do đó, $\triangle MAC$ cân tại $M$.
- Suy ra các góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{C}$).
Xét tam giác $ABC$:
- Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ }$:
  $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ }$
- Mà góc $\widehat{A} = \widehat{MAB} + \widehat{MAC}$. Thay các kết quả trên vào, ta có:
  $(\widehat{MAB}+\widehat{MAC})+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ }$$\widehat{A}+(\widehat{MAB}+\widehat{MAC})=180^{\circ }$$2\cdot \widehat{A}=180^{\circ }$$\widehat{A}=90^{\circ }$

3. Kết luận:
Vì góc $\widehat{A} = 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (đpcm).

Vũ Phong · Answer

đúng

Câu trả lời:

đúng

🌙꧁༺Huyết Nguyệt Sát Thần༻꧂🌙 (╬ಠ益ಠ) · Answer

Gọi tam giác $A B C$, $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ (nên $A M$ là đường trung tuyến).

Giả sử:

$A M = \frac{1}{2} B C$

Ta cần chứng minh tam giác $A B C$ vuông.

Xét tam giác $A B C$, có $M$ là trung điểm của $B C$ nên:

$M B = M C = \frac{1}{2} B C$

Theo giả thiết:

$A M = M B = M C$

⇒ $M$ cách đều $A , B , C$.

⇒ $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$.

Vì $M$ là trung điểm của $B C$, nên $B C$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.

Theo định lí: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông ⇒

$\angle B A C = 90^{\circ}$

Vậy tam giác $A B C$ vuông tại $A$.

Kết luận: Nếu trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông (vuông tại đỉnh đối diện cạnh đó).