Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.
Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:
$AB$ là đường trung trực của $DH$.
Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.
Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:
$AC$ là đường trung trực của $EH$.
Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.
Do $AC\perp AB$ nên:
$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.
Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.
Vậy $ADHK$ là hình bình hành.
Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.
Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.
Ta có: $AD=AH=AE$.
Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.
Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.
Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.
Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.
c) Chứng minh $AM\perp IK$.
Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:
$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khác: $I=AD\cap BH$.
Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.
Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:
$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.
Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.
Suy ra: $AM\perp IK$.
Bài 1:
a: Xét ΔADN vuông tại N và ΔCBM vuông tại M có
AD=CB
\(\widehat{ADN}=\widehat{CBM}\)
Do đó: ΔADN=ΔCBM
Suy ra: DN=BM
A B C M D E H K O I
a) Xét tứ giác ADME có \(\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=90^0\)
=> ADME là hình chữ nhật
=> AM= DE
b) Gọi O là giao điểm của AM và DE => OA = OM = OD = OE (2)
Do ADME là HCN => DA = ME
=> 2DA = 2ME hay DA + AI = EM + MK (vì DA = AI; ME = MK)
=> DI = EK
Xét tứ giác DIEK có DI = EK (cmt)
DI// EK (vì CEMD là HCN)
=> DKEI là hình bình hành
Do O là trung điểm của DE => KI đi qua O
=> DE cắt IK tại O và OD = OE; OK = OI (1)
Từ (1) và (2) => DE; AM; IK đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường
c) don't know, tự làm
a: Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{MBA}\) chung
Do đó: ΔBMA~ΔBAC
b: Xét ΔMAB vuông tại M và ΔMCA vuông tại M có
\(\hat{MAB}=\hat{MCA}\left(=90^0-\hat{MBA}\right)\)
Do đó: ΔMAB~ΔMCA
=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MA}\)
=>\(MA^2=MB\cdot MC\)
c: \(MI\cdot MK=\frac12\cdot MA\cdot2\cdot MA=MA^2\)
=>\(MI\cdot MK=MB\cdot MC\)
=>\(\frac{MI}{MC}=\frac{MB}{MK}\)
Xét ΔMIB vuông tại M và ΔMCK vuông tại M có
\(\frac{MI}{MC}=\frac{MB}{MK}\)
Do đó: ΔMIB~ΔMCK
=>\(\hat{MIB}=\hat{MCK}\)
mà \(\hat{MIB}+\hat{MBI}=90^0\) (ΔIMB vuông tại M)
nên \(\hat{NCB}+\hat{NBC}=90^0\)
=>ΔNBC vuông tại N
=>BN⊥KC
Xét tam giác ABM và tam giác ACB có:
Góc B là góc chung.
Góc AMB = Góc BAC = 90 độ (theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A và AM là đường cao).
b/ Chứng minh AM² = BM.CMVậy tam giác ABM đồng dạng tam giác ACB (trường hợp góc - góc).
Xét tam giác ABM và tam giác CAM có:
Góc AMB = Góc CMA = 90 độ.
Góc BAM = Góc ACM (vì cùng phụ với góc CAM).
c/ Chứng minh BN vuông góc KCVậy tam giác ABM đồng dạng tam giác CAM (góc - góc).
Suy ra tỉ số: AM/CM = BM/AM.
Nhân chéo ta được: AM.AM = BM.CM hay AM² = BM.CM.
Gọi E là trung điểm của MC. Trong tam giác AMC, có I là trung điểm AM và E là trung điểm MC, nên IE là đường trung bình của tam giác AMC.
Suy ra IE song song với AC. Mà AC vuông góc với AB nên IE vuông góc với AB.
Xét tam giác ABE có AM vuông góc với BE (do AM là đường cao) và IE vuông góc với AB, nên I là trực tâm của tam giác ABE.
Suy ra BI vuông góc với AE (1).
Mặt khác, xét tam giác MKC có A là trung điểm MK (do K đối xứng với M qua A) và E là trung điểm MC, nên AE là đường trung bình của tam giác MKC.
Suy ra AE song song với KC (2).
Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có BI vuông góc với KC.
Vì N nằm trên đường thẳng BI và KC, nên BN vuông góc với KC tại N.