bài 7:

ta gọi số cần tìm là x

\(x=4a+3\Rightarrow x+25=4a+28\) chia hết cho 4

\(x=17b+9\Rightarrow x+25=17b+34\) chia hết cho 17

\(x=19c+13\Rightarrow x+25=19c+38\) chia hết cho 19

từ đó => (x+25) \(\in BC\left(4,17,19\right)\)

ta tính BCNN:
4=\(2^2\)

17=17

19=19

BCNN=\(4.17.19=1292\)

=> (x+25) chia hết cho 1292

=>(x+25)=1292k(k\(\in N^{\cdot}\) )

\(x=1292k-25\)

x=\(1292\left(k-1\right)+1267\)

đối chiếu công thức:x=q.d+r(0<r<d)

ta thấy số dư là 1267

bài 8:
a) gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là x(đơn vị:m,x>0)

vì chiều dài gấp 3 lần: 3x(m)

chiều rộng mới là:x+2(m)

chiều dài mới là:3x+2(m)

diện tích mới là:\(\left(x+2\right).\left(3x+2\right)\)

diện tích cũ là:x.3x=\(3x^2\)

theo đề bài khi tăng chiều rộng và chiều dài lên diện tích cũ thêm \(84m^2\)

ta có:

\(\left(x+2\right)\left(3x+2\right)-3x^2=84\)

\(3x^2+2x+6x+4-3x^2=84\)

\(8x+4=84\)

\(8x=80\Rightarrow x=10\) (TMĐK)

=> chiều dài là 10.3=30m

b) chiều rộng mới là: 10+2=12(m)

chiều dài mới là:30+2=32(m)

chu vi khu vườn mới là: \(\left(12+32\right).2=88\left(m\right)\)

vì cứ cách 2m lại đóng cọc:

=> số cọc đóng là: \(88:2=44\)

mỗi cọc có giá 50000đồng :

=> số tiền cần trả là:\(44.50000=2200000\) (đồng)

câu 6:
sửa lại đề bài: nếu p và \(p^2+2\) là số nguyên tố thì \(p^3+2\) là số nguyên tố

ta xét p=3

\(p^2+2=3^2+2=11\) (TM)

\(p^3+2=3^3+2=29\) (TM)

ta xét p>3

ta có một số nguyên tố p mà ko chia hết cho 3 thì chỉ có dạng công thức: 3k+1,3k+2

ta xét 3k+1:
\(p=3k+1\) thì \(p^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=\left(9k^2+6k\right)+1\) số này luôn chia cho 3 dư 1

ta xét 3k+2:

\(p=3k+2\) thì \(p^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=\left(9k^2+12k+3\right)+1\)

số này luôn chia 3 dư 1

=> \(p^2\equiv1\pmod{\placeholder{}}\)

cộng thêm 2 vào:

\(p^2+2\equiv3\pmod{\placeholder{}}\)

mà \(3\vdots3\)

=> \(p^2+2\vdots3\) mà p>3

\(\Rightarrow p^2+2\) là hợp số

vậy chỉ có TH p=3 thỏa mãn

đoạn \(p^2\) đồng dư 1(mod 3) nhá thay vì  p2≡1(mod\placeholder)

do mik vt nhầm mong bạn thông cảm

Câu 6

Đề bài có thể bị lỗi kí hiệu. Mình hiểu là:

Nếu p và p² + 2 là các số nguyên tố thì p³ + 2 cũng là số nguyên tố.

Bài giải

Vì p là số nguyên tố nên p = 2 hoặc p là số nguyên tố lẻ.

Nếu p = 2 thì:

p² + 2 = 2² + 2 = 6

6 không phải số nguyên tố.

Vậy p ≠ 2.

Xét p là số nguyên tố lẻ.

Nếu p ≠ 3 thì p không chia hết cho 3.

Khi đó p chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

Suy ra:

p² chia 3 dư 1.

Do đó:

p² + 2 chia hết cho 3.

Mà p² + 2 > 3 nên p² + 2 là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy p = 3.

Khi đó:

p³ + 2 = 3³ + 2 = 27 + 2 = 29

29 là số nguyên tố.

Vậy p³ + 2 là số nguyên tố.

Điều phải chứng minh.

Câu 7

Gọi số cần tìm là x.

Theo đề bài:

x chia cho 4 dư 3 nên x ≡ 3 mod 4

x chia cho 17 dư 9 nên x ≡ 9 mod 17

x chia cho 19 dư 13 nên x ≡ 13 mod 19

Vì x ≡ 9 mod 17 nên đặt:

x = 9 + 17k

Lại có x ≡ 3 mod 4 nên:

9 + 17k ≡ 3 mod 4

Vì 9 ≡ 1 mod 4 và 17 ≡ 1 mod 4 nên:

1 + k ≡ 3 mod 4

k ≡ 2 mod 4

Đặt:

k = 2 + 4t

Khi đó:

x = 9 + 17(2 + 4t)

x = 9 + 34 + 68t

x = 43 + 68t

Lại có x ≡ 13 mod 19 nên:

43 + 68t ≡ 13 mod 19

Ta có:

43 ≡ 5 mod 19

68 ≡ 11 mod 19

Do đó:

5 + 11t ≡ 13 mod 19

11t ≡ 8 mod 19

Vì 11 . 7 = 77 ≡ 1 mod 19 nên nhân hai vế với 7:

t ≡ 8 . 7 mod 19

t ≡ 56 mod 19

t ≡ 18 mod 19

Chọn t = 18, ta có:

x = 43 + 68 . 18

x = 43 + 1224

x = 1267

Vì:

1292 = 4 . 17 . 19

Nên số đó chia cho 1292 dư 1267.

Đáp số: 1267

Bài 8

Gọi chiều rộng ban đầu của khu vườn là x m.

Vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài ban đầu là 3x m.

Diện tích ban đầu là:

x . 3x = 3x² m²

Sau khi mở rộng:

Chiều rộng mới là:

x + 2 m

Chiều dài mới là:

3x + 2 m

Diện tích mới là:

(x + 2)(3x + 2) m²

Theo đề bài, diện tích tăng thêm 84 m² nên:

(x + 2)(3x + 2) - 3x² = 84

Ta có:

(x + 2)(3x + 2) = 3x² + 2x + 6x + 4

= 3x² + 8x + 4

Suy ra:

3x² + 8x + 4 - 3x² = 84

8x + 4 = 84

8x = 80

x = 10

Vậy chiều rộng ban đầu là 10 m.

Chiều dài ban đầu là:

3 . 10 = 30 m

Đáp số câu a:

Chiều rộng: 10 m

Chiều dài: 30 m

b) Khu vườn mới có:

Chiều rộng mới là:

10 + 2 = 12 m

Chiều dài mới là:

30 + 2 = 32 m

Chu vi khu vườn mới là:

(32 + 12) . 2 = 88 m

Cứ 2 m đóng một cọc rào, các góc vườn đều có cọc.

Số cọc cần dùng là:

88 : 2 = 44 cọc

Số tiền mua cọc là:

44 . 50 000 = 2 200 000 đồng

Đáp số câu b: 2 200 000 đồng.