a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.

Ta có 

Do đó (SBC) ⊥ (SIK)

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK

ta có 

Ta lại có:

Do đó:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng 

a)

Ta có $ABCD$ là hình vuông nên:
$AD \parallel BC$.

Gọi $I,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ BC$ nên:
$IK \parallel AB$.

Mặt khác:
$SA = SB = SC = SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình vuông.

Suy ra:
$SO \perp (ABCD)$.

Do đó:
$SO \perp IK$ và $SO \perp BC$.

Xét hai mặt phẳng $(SIK)$ và $(SBC)$:

Ta có:
$IK \parallel AB \perp BC$ nên:
$IK \perp BC$.

Mặt khác:
$SO \perp BC$.

Suy ra:
$BC \perp (SIK)$.

Mà $BC \subset (SBC)$ nên:
$(SIK) \perp (SBC)$.

b)

Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

Ta có:
$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AD$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

Ta có $AD \perp BD$ và $AD \perp SO$ nên:
$AD \perp (SBD)$.

Suy ra khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Tính:

Trong tam giác vuông $SBD$:

$BD = a\sqrt{2}$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \triangle SBD$ đều.

Diện tích:
$S_{SBD} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot h$ với $h = d(A,(SBD))$.

Mặt khác:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot SO$.

Tính $SO$:

$OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2a^2 - \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Suy ra:
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

Do đó:
$\dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot d = V$

$\Rightarrow d = \dfrac{3V}{S_{SBD}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}$

$= \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{2}$.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\cap\left(SAD\right)=SA\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow AB||\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(AB;SM\right)=d\left(AB;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SM\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||AB\Rightarrow MN\perp AD\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MN\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=a\)

\(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án C

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow AC=SA=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=a\)

Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow NM||SB\Rightarrow SB||\left(DMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SB\right)=d\left(SB;\left(DMN\right)\right)=d\left(B;\left(DMN\right)\right)\)

Mà M là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(B;\left(DMN\right)\right)=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

Từ A kẻ AH vuông góc DM \(\Rightarrow DM\perp\left(NAH\right)\)

Trong mp (NAH), từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}\)

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{6},0,0),\ D(0,a\sqrt{6},0),\ C(a\sqrt{6},a\sqrt{6},0)$

Vì $(SAD)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt: $S(0,0,h)$

Tính $SC$: $SC^2 = (a\sqrt{6})^2 + (a\sqrt{6})^2 + h^2 = 12a^2 + h^2$

Theo đề: $SC = 4\sqrt{3}a \Rightarrow SC^2 = 48a^2$

$\Rightarrow 12a^2 + h^2 = 48a^2 \Rightarrow h^2 = 36a^2 \Rightarrow h = 6a$ ⇒ $S(0,0,6a)$

Trung điểm $M$ của $SC$: $M\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Xét đường thẳng $BM$:

$\vec{BM} = \left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2} - a\sqrt{6}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2} - 0, 3a - 0\right) = \left(-\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Mặt phẳng $(ACD)$ chính là mặt đáy nên có vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ACD)$:

$\sin \varphi = \dfrac{|\vec{BM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{BM}|} = \dfrac{3a}{\sqrt{\dfrac{6a^2}{4} + \dfrac{6a^2}{4} + 9a^2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{3a^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a}{a\sqrt{12}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $\varphi = 60^\circ$

Đáp án A

Võ Ngọc Tú Uyên  

A B C D N S M P H K

a) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD), (SAB) và (SAB) có giao tuyến SA => SA vuông góc (ABCD)

=> BC vuông góc SA. Mà BC vuông góc AB nên BC vuông góc (SAB).

Ta cũng có BD vuông góc AS, BD vuông góc AC vì ABCD là hình vuông

=> BD vuông góc (SAC) hay (SAC) vuông góc (SBD).

b) Gọi M là trung điểm của AB, CM cắt AD tại P, H thuộc CM sao cho AH vuông góc CM, K thuộc SH sao cho AK vuông góc SH.

Dễ thấy AN || CM => AN || (SCM) => d(AN,SC) = d(AN,SCM) = d(A,SCM) = d(A,SMP)

Ta có AH vuông góc MP, MP vuông góc AS => MP vuông góc (HAS) => (SMP) vuông góc (HAS)

Vì (SMP) và (HAS) có giao tuyến SH, AK vuông góc SH tại K nên d(A,SMP) = AK

Theo hệ thức lượng thì: \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)

\(\Rightarrow d\left(AN,SC\right)=d\left(A,SMP\right)=AK=\frac{AS.AM.AP}{\sqrt{AS^2AM^2+AM^2AP^2+AP^2AS^2}}\)

\(=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.a}{\sqrt{2a^2.\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}.a^2+a^2.2a^2}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}.\)