pt ↔ \(\log_3\left(x+\frac{1}{x}+1\right)=2x-x^2\)

Nhận xét: \(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+1\ge3\Leftrightarrow\log_3\left(x+\frac{1}{x}+1\right)\ge1\)

Xét f(x) = 2x - x² (x > 0), lập bbt thấy GTLN của hàm là f(1) = 1

Ta có; VT>=1 và VP=<1 nên VT = VP = 1, giải ra được x = 1 (thoả)

Lời giải:

Để ý rằng \(\log _3(3^{x+1}-3)=\log_3[3(3^x-1)]=1+\log_3(3^x-1)\)

Đặt \(\log_3(3^x-1)=t\). Khi đó PT tương đương:

\(t(t+1)=6\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(t=2\rightarrow 3^x-1=9\Leftrightarrow 3^x=10\rightarrow x=\log_3(10)\)

Nếu \(t=-3\Rightarrow 3^x-1=\frac{1}{27}\Rightarrow 3^x=\frac{28}{27}\Rightarrow x=\log_3\left (\frac{28}{27}\right)\)

Lời giải:
Ta có: \(\log_3(9^{x+1})\log_3(9^x+1)=3\)

\(\Leftrightarrow (x+1)\log_39\log_3(9^x+1)=3\)

\(\Leftrightarrow (x+1)\log_3(9^x+1)=\frac{3}{2}\)

Từ đây suy ra \(x+1\neq 0\)

\(\Rightarrow \log_3(9^x+1)=\frac{3}{2(x+1)}\)

\(\Leftrightarrow 9^x+1=3^{\frac{3}{2(x+1)}}\) (*)

Đạo hàm vế trái: \((9^x+1)'=\ln 9.9^x>0\), hàm đồng biến

Đạo hàm vế phải: \((3^{\frac{3}{2(x+1)}})'=\frac{-3}{2(x+1)^2}.\ln 3.3^{\frac{3}{2(x+1)}}<0\), hàm nghịch biến

Do đó PT (*) có một nghiệm duy nhất.

Đến đây việc còn lại là dò nghiệm duy nhất đó.

\(x\approx 0,3795\)

\(\log_3\left(x^2-6\right)=\log_3\left(x-2\right)+\log_33\)
\(\log_3\left(x^2-6\right)=\log_3\left[3\left(x-2\right)\right]\)
\(x^2-6=3x-6\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\x=0\end{matrix}\right.\)

Điều kiện \(\begin{cases}x\ne1\\x>\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(\log_3\left(x-1\right)^2+\log_{\sqrt{3}}\left(2x-1\right)=2\Leftrightarrow2\log_3\left|x-1\right|+2\log_3\left(2x-1\right)=2\)

                                                      \(\Leftrightarrow\log_3\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=\log_33\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=3\)

                                                       \(\frac{1}{2}\)<x<1 và \(2x^2-3x+4=0\)

                                                hoặc x>1 và \(2x^2-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\) thỏa mãn điều kiện. Vậy x=2

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(log_3\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)=log_3x+x\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) với \(t>0\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0\) \(\forall t>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1=x\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)

Phương trình này có tổng 2 nghiệm \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3\)

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)-log_3\left(x-1\right)^2=3\left(x^2-2x+1\right)-2x+1+1\)

\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)+2x-1=log_3\left(x-1\right)^2+1+3\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)+2x-1=log_33\left(x-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) với \(t>0\)

\(f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln3}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(2x-1\right)=f\left(3\left(x-1\right)^2\right)\Leftrightarrow2x-1=3\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-8x+4=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

a)ĐK: 2x+1>0

\(\log_3\left(2x+1\right)=2\log_{2x+1}3+1\)

\(\Leftrightarrow log_3\left(2x+1\right)=2.\frac{1}{log_3\left(2x+1\right)}+1\)

Nhân \(log_3\left(2x+1\right)\)cả 2 vế

Đặt \(t=log_3\left(2x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow t^2-t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x+1=9\\2x+1=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4\\x=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\)nhận cả 2 nghiệm

b)ĐK x>0

\(\Leftrightarrow1+log^2_{27}x=\frac{10}{3}log_{27}x\)

Đặt \(t=log_{27}x\)

\(\Leftrightarrow t^2-\frac{10}{3}t+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=3\\t=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=27^3\\x=3\end{array}\right.\)

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\) khi và chỉ khi 

\(\log_3\left(x^2-2x+3m\right)>0,x\in R\)

\(x^2-2x+3m>1,x\in R\Leftrightarrow x^2-2x+3m-1>0x\in R\)

Vì \(a=1>0\) nên \(\Delta'< 0\Leftrightarrow1-\left(3m-1\right)< 0\Leftrightarrow m>\frac{2}{3}\)

Vậy với \(m>\frac{2}{3}\) thì hàm số đã cho xác định với mọi \(x\in R\)

Điều kiện \(x^2-1>0\Leftrightarrow\left|x\right|>1\)

Bất phương trình tương đương với :

\(\log_3\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_3\Leftrightarrow0<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3\)

\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}1<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\Leftrightarrow1>x^2-1>\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow2>x^2>\frac{9}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}>\left|x\right|>\frac{3}{2\sqrt{2}}\) (Thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D=\left(-\sqrt{2};\frac{-3}{2\sqrt{2}}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)\)