a)      Có 2 khả năng có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu là: Sấp (S) và Ngửa (N).

Vậy \(A = \left\{ {S;\,N} \right\}\).

b)     Biến cố B: “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N”

Tập hợp M gồm các kết quả xó thể xảy ra đối với biến cố B là: \(M = \left\{ N \right\}\).

Phần tử N là kết quả thuận lợi cho biến cố B.

c)      Số các kết quả thuận lợi của B là: 1

Số phần tử của tập hợp A là: 2

Tỉ số các kết quả thuận lợi cho biến cố B và phần tử của tập hợp A là: \(\frac{1}{2}\)

a)      Các trường hợp có thể xảy ra đối với số ghi ở hình quạt mà mũi tên chỉ vào đĩa khi dừng lại là: mũi tên chỉ số 1, mũi tên chỉ số 2, mũi tên chỉ số 3, mũi tên chỉ số 4, mũi tên chỉ số 5, mũi tên chỉ số 6, mũi tên chỉ số 7, mũi tên chỉ số 8.

\(C = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)

b)     Các kết quả có thể xảy ra đối với biến cố D: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số lẻ” là: mũi tên chỉ số 1, mũi tên chỉ số 3, mũi tên chỉ số 5, mũi tên chỉ số 7. 

\(D = \left\{ {1;3;5;7} \right\}\)

Các phần tử 1; 3; 5; 7 được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố D.

c)      Số kết quả thuận lợi cho biến cố D là: 4

Số phần tử của tập hợp C là: 8

Tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố D và số phần tử của tập hợp C là: \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) mũi tên

a)      E = {Lúa, Ngô, Hoa hồng, Hoa hướng dương, Trâu, Bò, Voi, Hổ, Báo, Sư tử}

b)     G = {Trâu, Bò, Voi, Hổ, Báo, Sư tử}

Các phần tử Trâu, Bò, Voi, Hổ, Báo, Sư tử được gọi là các kết quả thuận lợi của biến cố G.

c)      Số kết quả thuận lợi của biến cố G là: 6

Số phần tử của tập hợp E là: 10

Tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố G và số phần tử của tập hợp E là: \(\frac{6}{{10}} = 0,6\)

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

 Kí hiệu A, B, C lần lượt là tập hợp các viên sỏi trong cùng một đống sỏi và \(f\left(A\right),f\left(B\right),f\left(C\right)\) lần lượt là số dư của số viên sỏi trong đống đó khi chia cho 3. Khi đó \(f\left(A\right)=1;f\left(B\right)=2;f\left(C\right)=0\)

 Nghĩa là \(f\left(A\right),f\left(B\right),f\left(C\right)\) đôi một khác nhau. Ta sẽ xét trường hợp tổng quát, là số sỏi trong mỗi đống thỏa mãn \(f\left(A\right),f\left(B\right),f\left(C\right)\) đôi một khác nhau (chứ không chỉ riêng TH 10, 11, 12). Giả sử \(f\left(A\right)=1;f\left(B\right)=2;f\left(C\right)=0\). Có tất cả 3 trường hợp xảy ra của phép biến đổi:

TH1: Lấy 2 viên sỏi, mỗi viên từ đống A và B, sau đó thêm vào đống C viên. Khi đó sau phép biến đổi, \(f\left(A\right)=0,f\left(B\right)=1,f\left(C\right)=2\).

TH2: Lấy 2 viên sỏi, mỗi viên từ đống B và C, sau đó thêm vào đống A. Khi đó sau phép biến đổi thì \(f\left(A\right)=0;f\left(B\right)=1;f\left(C\right)=2\)

TH3: Lấy 2 viên sỏi, mỗi viên từ đống A và C, sau đó thêm vào đống B. Khi đó sau phép biến đổi thì \(f\left(A\right)=0;f\left(B\right)=1;f\left(C\right)=2\)

 Như vậy, từ vị trí ban đầu, cho dù ta thực hiện phép biến đổi như thế nào thì \(f\left(A\right),f\left(B\right),f\left(C\right)\) vẫn luôn đôi một khác nhau. Chính vì vậy, không thể xảy ra trường hợp 3 đống sỏi có số sỏi bằng nhau vì khi đó \(f\left(A\right)=f\left(B\right)=f\left(C\right)\)