Đặt \(\left|x-3\right|=a\ge0\)

\(\Rightarrow A=a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)

\(\Rightarrow A_{max}=1\) khi \(a=1\Leftrightarrow\left|x-3\right|=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=1\\x-3=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)

xin lỗi nhé

mik viết lộn phải là

a: Ta có: \(AB=\frac{AC}{2}\)

\(AD=DC=\frac{AC}{2}\)

Do đó: AB=AD=DC

Xét tứ giác ABCF có

D là trung điểm chung của AC và BF

=>ABCF là hình bình hành

b: Xét ΔABD có AB=AD
nên ΔABD cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là phân giác của góc BAD

Xét tứ giác AEHG có \(\hat{AEH}=\hat{AGH}=\hat{GAE}=90^0\)

nên AEHG là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AEHG có AH là phân giác của góc GAE
nên AEHG là hình vuông

c: ΔABD vuông cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BD

Xét ΔABD có

H là trung điểm của BD

HE//AD
Do đó: E là trung điểm của AB

Xét ΔABD có

H là trung điểm của BD

HG//AB

Do đó: G là trung điểm của AD

AEHG là hình vuông

=>\(S_{AEHG}=AE^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)

ΔCAB vuông tại A

=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot AC\cdot AB=\frac12\cdot2\cdot AB\cdot AB=AB^2\)

Vì ABCF là hình bình hành

nên \(S_{ABCF}=2\cdot S_{CAB}=2\cdot AB^2\)

=>\(\frac{S_{AEHG}}{S_{ABCF}}=\frac14:2=\frac18\)

Bài 7: Cho tam giác vuông△MỘTBC\tam giác ABC△ Một BCvuông tạiMỘTMỘTMỘTvới ( AC = 2ABMỘTC=2MỘTBAC = 2ABMột C=2 A B. Gọi ( D \DDDlà trung điểmMỘTCMáy lạnhMột C.

a) Tìm điểmFFFsao cho (DDDlà trungBFBFBF. Tứ Giác (MỘTBCFABCFMột BCFlà

• VìDDDlàMỘTCMáy lạnhMột CvàBFBFBF, nênMỘTBCFABCFMột BCFlà tứ
• Tam giác vuông tạiMỘTMỘTMỘTvMỘTMỘTMỘTb\(^{}\)nên tứ giácMỘTBCFABCFMột BCFcó
• VậyMỘTBCFABCFMột BCFtôi.

b) GọiHHHlà châMỘTMỘTMỘTxuốngBCtrước Công nguyêntrước Công nguyên. Vẽ ( HE \perpHE⊥MỘTBHE \perp ABANH TA⊥Một BtạiEEE, ( HG \HG⊥MỘTDHG \perp ADH G⊥Một Dtại ( GGGG. Chứng minh tứ giácMỘTEHGAEHGA E H Gtôi

• HE⊥MỘTBHE \perp ABANH TA⊥Một Bvà ( HG \perp ADHG⊥MỘTDHG \perp ADH G⊥Một Dnên các góc tạiEEEvàGGGđ\(^{}\).
• MỘTH⊥BCAH \perp BCMột H⊥trước Công nguyênnên góc tại ( HHHHvuông.
• Góc tạiMỘTMỘTMỘTvuông vì tam
• Do đó,MỘTEHGAEHGA E H Gcó bốn gMỘTEHGAEHGA E H Glà hình.

c) Chứng

\(\frac{S_{A E H G}}{S_{A B C F}} = \frac{1}{8}\)

• Hình chữ nhậtMỘTBCFABCFMột BCFlà:

\(S_{A B C F} = A B \times A C = x \times 2 x = 2 x^{2}\)

• Đường caoMỘTHÀMột Htrong tam giác vuông được

\(A H = \frac{A B \times A C}{B C} = \frac{x \times 2 x}{\sqrt{x^{2} + \left(\right. 2 x \left.\right)^{2}}} = \frac{2 x^{2}}{x \sqrt{5}} = \frac{2 x}{\sqrt{5}}\)

• Diện tích hình vuôngMỘTEHGAEHGA E H Glà:

\(S_{A E H G} = A H^{2} = \left(\left(\right. \frac{2 x}{\sqrt{5}} \left.\right)\right)^{2} = \frac{4 x^{2}}{5}\)

• Tỉ số d

\(\frac{S_{A E H G}}{S_{A B C F}} = \frac{\frac{4 x^{2}}{5}}{2 x^{2}} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}\)

\(x^2-y=y^2-x\)

=>\(x^2-y^2+x-y=0\)

=>(x-y)(x+y)+(x-y)=0

=>(x-y)(x+y+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=-1\end{array}\right.\)

\(A=x^3+y^3+3xy\left(x^2+y^2\right)+6x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3xy\left(x^2+y^2\right)+6x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3xy\left\lbrack\left(x+y\right)^2-2xy\right\rbrack+6x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3xy\left(x+y\right)^2-6x^2y^2+6x^2y^2\left(x+y\right)\)

TH1: x-y=0

=>x=y

=>\(A=\left(x+x\right)^3-3\cdot x\cdot x\left(x+x\right)+3x\cdot x\left(x+x\right)^2-6\cdot x^2\cdot x^2+6x^2\cdot x^2\left(x+x\right)\)

\(=8x^3-3x^2\cdot2x+3x^2\cdot\left(2x\right)^2-6x^4+6x^4\cdot2x\)

\(=8x^3-6x^3+12x^4-6x^4+12x^5=12x^5+6x^4+2x^3\)

TH2: x+y=-1

=>\(A=\left(-1\right)^3-3xy\left(-1\right)+3xy\left(-1\right)^2-6x^2y^2+6x^2y^2\cdot\left(-1\right)\)

=1+3xy+3xy\(-6x^2y^2-6x^2y^2\)

\(=1+6xy-12x^2y^2\)

32: \(16\left(x-y\right)^2-25\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(4x-4y\right)^2-\left(5x+5y\right)^2\)

=(4x-4y-5x-5y)(4x-4y+5x+5y)

=(-x-9y)(9x+y)

31: \(4\left(x+6\right)^2-9\left(x+1\right)^2\)

\(=\left(2x+12\right)^2-\left(3x+3\right)^2\)

=(2x+12-3x-3)(2x+12+3x+3)

=(-x+9)(5x+15)

=5(-x+9)(x+3)

30: \(9\left(x-3\right)^2-25\)

\(=\left(3x-9\right)^2-25\)

=(3x-9-5)(3x-9+5)

=(3x-14)(3x-4)

29: \(\left(3x+1\right)^2-\left(x-2\right)^2\)

=(3x+1-x+2)(3x+1+x-2)

=(2x+3)(4x-1)

28: \(\left(x+9\right)^2-\left(3x+5\right)^2\)

=(x+9+3x+5)(x+9-3x-5)

=(-2x+4)(4x+14)

\(=-2\left(x-2\right)\cdot2\cdot\left(2x+7\right)=-4\left(x-2\right)\left(2x+7\right)\)

27: \(\left(2x-1\right)^2-\left(x-1\right)^2\)

=(2x-1-x+1)(2x-1+x-1)

=x(3x-2)

26: \(81-\left(4a+5\right)^2\)

\(=9^2-\left(4a+5\right)^2\)

=(9-4a-5)(9+4a+5)

=(-4a+4)(4a+14)

\(=-4\left(a-1\right)\cdot2\cdot\left(2a+7\right)=-8\cdot\left(a-1\right)\left(2a+7\right)\)

25: \(100-\left(2x-y\right)^2\)

\(=10^2-\left(2x-y\right)^2\)

=(10-2x+y)(10+2x-y)

24: \(\left(x+y\right)^2-x^2\)

=(x+y-x)(x+y+x)

=y(2x+y)

23: \(\left(3x-1\right)^2-4\)

\(=\left(3x-1\right)^2-2^2\)

=(3x-1-2)(3x-1+2)

=(3x-3)(3x+1)

=3(x-1)(3x+1)

64: \(5a^3b-10a^2b^2+5ab^3\)

\(=5ab\cdot a^2-5ab\cdot2ab+5ab\cdot b^2\)

\(=5ab\left(a^2-2ab+b^2\right)=5a\left(a-b\right)^2\)

63: \(a^2b+2ab^2+b^3\)

\(=b\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(=b\left(a+b\right)^2\)

62: \(x^3-x^2y-a^2x+a^2y\)

\(=x^2\left(x-y\right)-a^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-a^2\right)=\left(x-y\right)\left(x-a\right)\left(x+a\right)\)

61: \(x^3-1+x-x^2\)

\(=x^3-x^2+x-1\)

\(=x^2\cdot\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\)

60: \(8x^3+ay-4x^2y-2ax\)

\(=8x^3-4x^2y+ay-2ax\)

\(=4x^2\left(2x-y\right)-a\left(2x-y\right)\)

\(=\left(2x-y\right)\left(4x^2-a\right)\)

58: 5ax-15ay-x+3y

=5a(x-3y)-(x-3y)

=(x-3y)(5a-1)

57: \(4xy-ay+8x^2-2ax\)

=y(4x-a)+2x(4x-a)

=(4x-a)(2x+y)

56: \(ax-2x-a^2+2a\)

\(=x\left(a-2\right)-a\left(a-2\right)\)

=(a-2)(x-a)

Biến đổi \(A=\left(x^2-5x\right)^2+12\left(x^2-5x\right)+2046\)

Đặt \(t=x^2-5x\) thì trở thành \(A=t^2+12t+2046=\left(t+6\right)^2+2010\ge2010\)

Vậy minA = 2010 . Bạn tự xét dấu đẳng thức.

2016 nhé anh(chị) em nghĩ zậy

không ai cứu cậu đâu :))

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

c: ΔAHB vuông tại H

mà HP là đường trung tuyến

nên HP=PA=PB

PA=PH

=>ΔPAH cân tại P

=>\(\hat{PAH}=\hat{PHA}\left(1\right)\)

Ta có: HM⊥AC

AB⊥CA

Do đó: HM//AB

=>\(\hat{MHA}=\hat{HAP}\) (hai góc so le trong)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{MHA}=\hat{PHA}\)

=>HA là phân giác của góc MHP

a) Chứng minh \(\triangle B H A sim \triangle B A C\)

• Ta có \(\angle B H A = 90^{\circ}\).
• \(\angle B A C = 90^{\circ}\).
  ⇒ \(\angle B H A = \angle B A C\).
• Đồng thời \(\angle A B H = \angle A C B\) (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông).

⇒ Theo trường hợp “góc - góc” (AA), ta có:

\(\triangle B H A sim \triangle B A C .\)

b) Chứng minh \(A H^{2} = H B \cdot H C\)

Đây là hệ thức quen thuộc trong tam giác vuông: đường cao chia cạnh huyền thành 2 đoạn.

• Từ (a): \(\triangle B H A sim \triangle B A C\).
  ⇒ \(\frac{B H}{B A} = \frac{B A}{B C}\).
  ⇒ \(B A^{2} = B H \cdot B C\).
• Tương tự, \(\triangle A H C sim \triangle A B C\).
  ⇒ \(A C^{2} = H C \cdot B C\).
• Cộng lại: \(B A^{2} + A C^{2} = B C \left(\right. B H + H C \left.\right) = B C^{2}\).
• Lại có: trong tam giác vuông, \(A H^{2} = B H \cdot H C\). (Có thể suy ra trực tiếp từ hai đồng dạng trên).

c) Chứng minh:

• \(M\) là hình chiếu của \(H\) lên \(A C\).
• \(P\) là trung điểm \(A B\).
• \(C P\) cắt \(H M\) tại \(Q\), và cắt \(A H\) tại \(I\).

Cần chứng minh:

1. \(H A\) là tia phân giác \(\angle P H M\).
2. \(B , I , M\) thẳng hàng.
3. Chứng minh HA là phân giác của \(\angle P H M\):
4. • Ta dùng tứ giác nội tiếp hoặc đồng dạng.
   • Dễ thấy các tam giác vuông nhỏ xuất hiện quanh điểm \(H , M\).
   • Thường ta chứng minh \(\triangle H A P sim \triangle H A M\) hoặc sử dụng tính chất: \(I\) trên \(A H\) đồng thời thuộc \(C P\), kết hợp với \(Q = C P \cap H M\) ⇒ xuất hiện cặp tam giác đồng dạng, từ đó suy ra \(\frac{H P}{H A} = \frac{H A}{H M}\) ⇒ HA phân giác.
5. Chứng minh \(B , I , M\) thẳng hàng:
6. • Từ việc HA là phân giác, áp dụng định lí phân giác trong tam giác \(P H M\).
   • Ta có \(I\) nằm trên phân giác \(A H\).
   • Từ đó dựng quan hệ tỉ số, và qua biến đổi sẽ ra tính thẳng hàng \(B , I , M\).