K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
a) Vì \(\triangle ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\)
Ta có:
\(AH \perp BC \Rightarrow \triangle AHB\) vuông tại H
\(\rArr\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^{\circ}\)
Mà \(\widehat{ABH} + \widehat{ACH} = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại A)
\(\rArr\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\triangle HAD\) , có:
\(HA=HD\) (gt)
\(\Rightarrow \triangle HAD\) cân tại H
\(\rArr\widehat{HAD}=\widehat{HDA}\)
Mặt khác, \(\widehat{HAE} = 90^\circ - \widehat{HAD}\) và \(\widehat{HEA} = 90^\circ - \widehat{HDA}\) (do \(\triangle ADE\) có \(\widehat{A}=90^{\circ})\)
\(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{HEA}\)
\(\Rightarrow\triangle HAE\) cân tại H
\(\Rightarrow HA=HE\)
Từ đó, suy ra H là trung điểm của DE.(đpcm)
Gọi F là giao điểm của OA và DE.
\(\triangle OAC\) cân tại O (\(OA = OC = R\) )
Nên \(\widehat{OAC} = \widehat{OCA}\)
Ta có:
\(\widehat{OAF} + \widehat{ADF} = \widehat{OAC} + \widehat{HDA} = \widehat{OCA} + \widehat{HAD}\)
Trong \(\triangle AHC\) vuông tại H, có:
\(\widehat{HAC} + \widehat{HCA} = 90^\circ\)
Vì \(HA = HD \Rightarrow \widehat{HAD} = \widehat{HDA}\) , mà A, D, C thẳng hàng nên \(\widehat{HAD} = \widehat{HAC}\)
\(\Rightarrow \widehat{OAF} + \widehat{ADF} = \widehat{HCA} + \widehat{HAC} = 90^\circ\)
Xét \(\triangle ADF\) có tổng hai góc \(90^\circ \Rightarrow \widehat{AFD} = 90^\circ\)
Vậy \(OA \perp DE\) (đpcm)
b) Xét \(\triangle ADE\) có:
AF là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.
\(\rArr\triangle ADE\) cân tại A.
\(\rArr AD=AE\) và \(\widehat{AED} = \widehat{ADE}\)
\(\rarr\widehat{AEK}=\widehat{ADI}\)
Xét \(\triangle AKE\) và \(\triangle AID\) , có:
\(\widehat{EAK} = \widehat{DAI}\) (góc chung)
\(AE = AD\) (cmt)
\(\widehat{AEK} = \widehat{ADI}\) (cmt)
\(\Rightarrow \triangle AKE = \triangle AID\) (g-c-g)
Từ đó suy ra \(\triangle AKE \sim \triangle AID\) theo tỉ số 1.
c) \(\triangle AKE = \triangle AID \Rightarrow AK = AI\) (câu b)
Xét \(\triangle AIK\) , có:
\(AK = AI\)
Nên \(\triangle AIK\) cân tại A.
Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
\(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\) (các hệ thức lượng và tỉ số đồng dạng).
Vì \(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\)
Nên suy ra \(KI // AB\) (đpcm)
Ta có:
\(S_{ABKC} = S_{ABC} + S_{AKC}\)
Gọi \(OH=x(0\le x<R)\) .
Ta có:
\(HB = R - x\)
\(HC = R + x\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC (với đường cao AH) có:
\(AH^2=HB\cdot HC=(R-x)(R+x)=R^2-x^2\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{R^2 - x^2}\)
Trong tam giác vuông AHC , ta có:
\(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{(R^2 - x^2) + (R+x)^2} = \sqrt{2R^2 + 2Rx}\)
Ta cũng có: \(AB = \sqrt{2R^2 - 2Rx}\)
xét tam giác AHC, có:
\(\tan\widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{ACH}=30^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC} = 60^\circ\)
Khi \(\widehat{ACB} = 30^\circ\) và \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) , các giá trị cạnh là:
- \(AC=BC.\cos30^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\)
- \(AB=BC.\sin30^{\circ}=2R\cdot\frac{1}{2}=R\)
- \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)