a) Ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.16}{20}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{16^2}{20}=\dfrac{64}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\angle B\approx37\)

b) tam giác AHE vuông tại H có HN là đường cao \(\Rightarrow AN.AE=AH^2\)

tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao \(\Rightarrow AH^2=HB.HC\)

\(\Rightarrow AN.AE=HB.HC\)

c) tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao \(\Rightarrow AH^2=AM.AB\)

\(\Rightarrow AN.AE=AM.AB\Rightarrow\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EABchung\\\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AN}{AB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta AEB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MN}\)

mà \(BE=3MN\Rightarrow\dfrac{BE}{MN}=3\Rightarrow\dfrac{AE}{AM}=3\Rightarrow AE=3AM\)

thank kiuuu bạn nhiều hjhj

Xét ∆ ABC vuông tại A có M là trung điểm AB

=> HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

=> HM = 1 2 AB => AB = 2HM = 2. 15 = 30 (cm)

Xét ∆ ACH vuông tại H có N là trung điểm AC

=> HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

=> HN = 1 2 AC => AC = 2HN = 2. 20 = 40 (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Ta có: HC = BC – BH = 50 – 18 = 32 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH.BC = AB.AC => AH.50 = 30.40 => AH = 24 (cm)

Đáp án cần chọn là: D

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao 

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao 

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{6^2}{10}=3,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

c: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

ΔACB vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên KA=KB=KC

KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\hat{KAC}=\hat{KCA}\)

\(\hat{KAC}+\hat{ANM}=\hat{KCA}+\hat{KBA}=90^0\)

=>AK⊥MN

d: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>MN=AH=4,8(cm)

ΔAMN~ΔACB

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{MN}{CB}\right)^2=\left(\frac{4.8}{10}\right)^2=\left(\frac{48}{100}\right)^2=\left(\frac{12}{25}\right)^2=\frac{144}{625}\)

a

Đường tròn $\left(O\right)$, đường kính $AH$ có ${\mathrm{\backslash (\backslash widehat\{AMH\}\backslash )}}^{}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow HM\perp AB$.

$\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HM\perp AB$

$\Rightarrow A{H}^2=AB.AM$.

Chứng minh tương tự $A{H}^2=AC.AN$.

\(\Rightarrow\) $AB.AM=AC.AN$.

B

Theo câu a ta có $AB.AM=AC.AN$

$\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

TRẢ HIỂU GÌ ?????????????????????

Sửa đề: Chứng minh \(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

Ta có: \(\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)

\(=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2\cdot cos^2B}=\frac12\left(\frac{1}{\sin^2B}+\frac{1}{cos^2B}\right)\)

\(=\frac12\cdot\frac{\sin^2B+cos^2B}{\left(\sin B\cdot cosB\right)^2}=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\sin B\cdot cosB\right)^2}\)

\(=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AB}{BC}\right)^2}=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\frac{AB\cdot AC}{BC^2}\right)^2}=\frac12\cdot\left(\frac{1}{\frac{AH\cdot BC}{BC^2}}\right)^2\)

\(=\frac12\cdot\left(\frac{BC}{AH}\right)^2\) (2)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AH^2=AN\cdot AC\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

ΔAMN vuông tại A

=>\(S_{AMN}=\frac12\cdot AM\cdot AN=\frac12\cdot\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac12\cdot\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac12\cdot\frac{AH^3}{BC}\)

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AH^3}{2\cdot BC}:\frac{AH\cdot BC}{2}=\frac{AH^3}{2\cdot BC}\cdot\frac{2}{AH\cdot BC}=\frac{AH^2}{BC^2}\)

=>\(\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)

I là trung điểm của BC

=>\(\frac{BI}{BC}=\frac12\)

=>\(S_{ABC}=2\cdot S_{ABI}\)

Ta có: \(\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)

=>\(\frac{2\cdot S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)

=>\(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{2AH^2}=\frac12\cdot\left(\frac{BC}{AH}\right)^2\) (1)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)